【題目】勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理,早在我國(guó)西漢吋期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù),這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”;這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”,如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41等等都是勾股數(shù).
(1)小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn),某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個(gè)整數(shù)的平方和,有一條直角邊能寫成這兩個(gè)整數(shù)的平方差.如3,4,5中,5=22+12,3=22﹣12;5,12,13中,13=32+22,5=32﹣22;請(qǐng)證明:m,n為正整數(shù),且m>n,若有一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為m2+n2,有一條直角長(zhǎng)為m2﹣n2,則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”;
(2)有一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和,斜邊長(zhǎng)4,且a和b均為正整數(shù),用含b的代數(shù)式表示a,并求出a和b的值;
(3)若c1=a12+b12,c2=a22+b22,其中,a1、a2、b1、b2均為正整數(shù).證明:存在一個(gè)整數(shù)直角三角形,其斜邊長(zhǎng)為c1c2.
【答案】(1)見解析;(2),a=31,b=4;(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理:利用(m2+n2)2﹣(m2﹣n2)2,解得另一條直角邊長(zhǎng)為2mn,因?yàn)?/span>m,n為正整數(shù),所以2mn也為正整數(shù),即可得證;
(2)首先根據(jù)勾股定理求出關(guān)于的代數(shù)式,再根據(jù)被開方數(shù)需大于等于0,即可求得、的范圍,且、均為正整數(shù),將b的可能值:1,2,3,4分別代入,即可求得符合條件的正整數(shù)、;
(3)觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)a1=b1=1,a2=b2=2時(shí),c1c2=5×5=25,而,故存在.
(1)證明:
∵(m2+n2)2﹣(m2﹣n2)2,
=(m2+n2+m2﹣n2)(m2+n2﹣m2+n2),
=2m22n2,
=(2mn)2,
∴(2mn)2+(m2﹣n2)2=(m2+n2)2,
∵m,n為正整數(shù),且m>n,
∴2mn,m2﹣n2,m2+n2均為正整數(shù),
∴該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”;
(2)由勾股定理得:
7a﹣7+(150﹣30b)=16×15,
∴,
由題意可知:7a﹣7>0,150﹣30b>0,
∴a>1,0<b<5,
∵a和b均為正整數(shù),
∴b的可能值為:1,2,3,4,
當(dāng)b=1時(shí), ,不是正整數(shù),故b=1不符合題意;
當(dāng)b=2時(shí),,不是正整數(shù),故b=2不符合題意;
當(dāng)b=3時(shí),,不是正整數(shù),故b=3不符合題意;
當(dāng)b=4時(shí),,是正整數(shù),此時(shí),
∵,,
∴,
∴b=4符合題意,
∴;a=31,b=4;
(3)證明:觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)a1=b1=1,a2=b2=2時(shí),c1c2=5×5=25,
152+202=225+400=625,252=625,
∴152+202=252.
∴存在一個(gè)整數(shù)直角三角形,其斜邊長(zhǎng)為c1c2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)活動(dòng)中心為中老年舞蹈隊(duì)統(tǒng)一隊(duì)服和道具,準(zhǔn)備購買 10 套某種品牌的舞蹈鞋,每雙舞蹈鞋配 x(x≥2)個(gè)舞蹈扇,供舞蹈隊(duì)隊(duì)員使用.該社區(qū)附近 A,B 兩家超市都有這種品牌的舞蹈鞋和舞蹈扇出售,且每雙舞蹈鞋的標(biāo)價(jià)均為 30 元,每個(gè)舞蹈扇的標(biāo)價(jià)為 3 元,目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動(dòng):
A 超市:所有商品均打九折(按標(biāo)價(jià)的 90%)銷售;
B 超市:買一雙舞蹈鞋送 2 個(gè)舞蹈扇.
設(shè)在 A 超市購買舞蹈鞋和舞蹈扇的費(fèi)用為(元),在 B 超市購買舞蹈鞋和舞蹈扇的費(fèi)用為 (元).請(qǐng)解答下列問題:
(1)分別寫出 , 與 x 之間的關(guān)系式;
(2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購買,你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:
小明在學(xué)習(xí)了二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如3+2 =(1+)2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均為正整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分形如a+b的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當(dāng)a,b,m,n均為正整數(shù)時(shí),若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分別表示a,b,得a=__________,b=__________;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a,b,m,n填空:________+________=(________+________)2;
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均為正整數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格,直線是一條網(wǎng)格線,點(diǎn),在格點(diǎn)上,的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上.
(1)作出關(guān)于直線對(duì)稱的;
(2)在直線上畫出點(diǎn),使四邊形的周長(zhǎng)最;
(3)在這個(gè)網(wǎng)格中,到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等的格點(diǎn)有_________個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,F為對(duì)角線BD上一點(diǎn),點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上.
(1)如圖①,若F為矩形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上且BE=AC,連接DE,M是DE的中點(diǎn),連接BM,FM若AD=6,FM=,求線段AE的長(zhǎng);
(2)如圖②,過點(diǎn)F作FE⊥BD交AD于點(diǎn)H,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AF,當(dāng)FD=FE時(shí),求證:HA+AB=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,拋物線y=x2﹣x﹣3交軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).
(1)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)E,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F,當(dāng)△PAD的面積最大時(shí),一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿P→E→F的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F,再沿線段FB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后停止,當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)過程中所用的時(shí)間最少?
(2)如圖②,在(1)問的條件下,將拋物線沿直線PB進(jìn)行平移,點(diǎn)P、B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)P'、B',請(qǐng)問在y軸上是否存在一動(dòng)點(diǎn)Q,使得△P'QB'為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,S△ABC=10cm2,C△ABC=10cm且∠C=60°.求:
(1)⊙O的半徑r;
(2)扇形OEF的面積(結(jié)果保留π);
(3)扇形OEF的周長(zhǎng)(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且PE=PB.
(1)當(dāng)PC=CE時(shí),求∠CDP的度數(shù);
(2)試用等式表示線段PB、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1955年,印度數(shù)學(xué)家卡普耶卡()研究了對(duì)四位自然數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù),用的四個(gè)數(shù)字由大到小重新排列成一個(gè)四位數(shù),再減去它的反序數(shù)(即將的四個(gè)數(shù)字由小到大排列,規(guī)定反序后若左邊數(shù)字有0,則將0去掉運(yùn)算,比如0001,計(jì)算時(shí)按1計(jì)算),得出數(shù),然后繼續(xù)對(duì)重復(fù)上述變換,得數(shù),…,如此進(jìn)行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無論是多大的四位數(shù),只要四個(gè)數(shù)字不全相同,最多進(jìn)行次上述變換,就會(huì)出現(xiàn)變換前后相同的四位數(shù),這個(gè)數(shù)稱為變換的核.則四位數(shù)9631的變換的核為______.
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