Question

【題目】如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AGAB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）圓的半徑為3； .

【解析】分析:（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出，求出AC即可；

（3）先求出AF的長，根據勾股定理得： ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

本題解析：（1）證明：連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90° ∴∠CAD+∠ADC=90°。

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90° ∴PA⊥OA。

又∵AD是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線。

（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。

又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。

又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。 ∴，即AC2=AGAB。

∵AGAB=12，∴AC2=48。∴AC=。

（3）設AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AFAD，即3x2=48。

解得；x=4。 ∴AF=4，AD=12。∴⊙O半徑為6。

在Rt△AFG中，∵AF=4，GF=2，

∴根據勾股定理得：

由（2）知，AGAB=48

連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°。

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=12， ∴sin∠ADB= 。

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=.