Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-x+1與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于點A（1，0）和點D（-4，5），并與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x=-1，且拋物線與x軸交于另一點B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點E是直線下方拋物線上的一個動點，求出△ACE面積的最大值；

（3）如圖2，若點M是直線x=-1的一點，點N在拋物線上，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）△ACE的面積的最大值為；（3）點M的坐標為（-1，26）或（-1，16）或（-1，8）.

【解析】

（1）先利用拋物線的對稱性確定出點B的坐標，然后設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點D的坐標代入求得a的值即可；

（2）過點E作EF∥y軸，交AD與點F，過點C作CH⊥EF，垂足為H．設點E（m，m2+2m-3），則F（m，-m+1），則EF=-m2-3m+4，然后依據(jù)△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積列出三角形的面積與m的函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得△ACE的最大值即可；

（3）當AD為平行四邊形的對角線時．設點M的坐標為（-1，a），點N的坐標為（x，y），利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)可求得x的值，然后將x=-2代入求得對應的y值，然后依據(jù)，可求得a的值；當AD為平行四邊形的邊時．設點M的坐標為（-1，a）．則點N的坐標為（-6，a+5）或（4，a-5），將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值．

（1）∵A（1，0），拋物線的對稱軸為x=-1，

∴B（-3，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），

將點D的坐標代入得：5a=5，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3．

（2）如圖1所示：過點E作EF∥y軸，交AD與點F，過點C作CH⊥EF，垂足為H．

設點E（m，m2+2m-3），則F（m，-m+1）．

∴EF=-m+1-m2-2m+3=-m2-3m+4

∴△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積=EFAG-EFHC=EFOA=-（m+）2+．

∴△ACE的面積的最大值為．

（3）當AD為平行四邊形的對角線時．

設點M的坐標為（-1，a），點N的坐標為（x，y）．

∵平行四邊的對角線互相平分，

∴，．

解得：x=-2，5-a．

將點N的坐標代入拋物線的解析式得：5-a=-3，

∴a=8．

∴點M的坐標為（/span>-1，8）．

當AD為平行四邊形的邊時．

設點M的坐標為（-1，a）．

∵四邊形MNAD為平行四邊形，

∴點N的坐標為（-6，a+5）或（4，a-5）．

∵將x=-6，y=a+5代入拋物線的解析式得：a+5=36-12-3，解得：a=16，

∴M（-1，16）．

將x=4，y=a-5代入拋物線的解析式得：a-5=16+8-3，解得：a=26，

∴M（-1，26）．

綜上所述，當點M的坐標為（-1，26）或（-1，16）或（-1，8）時，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能成為平行四邊形．