Question

【題目】如圖，拋物線W的圖象與x軸交于A、O兩點，頂點為點B（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線W的表達式；

（2）將拋物線W繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點為E，試通過計算判斷拋物線V是否過點B；

（3）在拋物線W或V的圖象上是否存在點D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣1；（2）拋物線V是不經(jīng)過點B；（3）在拋物線W或V的圖象上存在點D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標為（﹣3，3）或（﹣4，0）或（﹣1，﹣3）．

【解析】

（1）把拋物線的解析式設成頂點式，代入原點坐標，便可求得解；

（2）根據(jù)對稱性質(zhì)求得E點坐標，再根據(jù)變化后的拋物線的形狀和大小與原拋物線相同，開口方向相反，得新拋物線的解析式的二次項系數(shù)是原拋物線解析式的二次項系數(shù)的相反數(shù)，進而新拋物線的解析式，再驗證是否經(jīng)過B點便可；

（3）存在點D，過O點作BE的平行線，此平行線與拋物線W的另一交點便是D點，過(-4，0)作BE的平行線，此平行線與拋物線V的交點便是D點，求出這些交點的坐標便可．

（1）∵拋物線的頂點為B(﹣1，﹣1)，

∴可設拋物線的解析式為y＝a(x+1)2﹣1，

把O(0，0)代入，得0＝a﹣1，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為：y＝(x+1)2﹣1；

（2）令y＝0，有y＝(x+1)2﹣1＝0，

解得，x＝0或﹣2，

∴A(﹣2，0)，

∵將拋物線W繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點為E，B(﹣1，﹣1)，

∴E(﹣3，1)，

設拋物線V的解析式為：y＝a'(x+3)2+1（a'≠0），

∵將拋物線W繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，拋物線W的解析式為：y＝(x+1)2﹣1，

∴a'＝﹣1，

∴拋物線V的解析式為：y＝﹣(x+3)2+1，

當x＝﹣1時，y＝﹣4+1＝﹣3≠﹣1，

∴拋物線V是不經(jīng)過點B；

（3）設直線BE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則

，

解得，

∴直線BE的解析式為：y＝﹣x﹣2，

過O作OD//BE，與拋物線W交于D點，如圖1，則S△OBE＝S△DBE，

設OD的解析式為：y＝﹣x+m，

把O(0，0)代入得，m＝0，

∴OD的解析式為：y＝﹣x，

聯(lián)立方程組，

解得或，

∴D(﹣3，3)；

過拋物線V與x軸的交點F(﹣4，0)作FG//BE，與拋物線V交于另一點G，如圖2，

∵OA＝AF＝2，

∴S△OAE＝S△AEF，S△OAB＝S△ABF，

∴S△OBE＝S△BEF＝S△BEG，

設直線FG的解析式為：y＝﹣x+n，

把F(﹣4，0)代入得n＝﹣4，

∴直線FG的解析式為：y＝﹣x﹣4，

聯(lián)立方程組，

解得或，

∴G(﹣1，﹣3)，

當D點與F或G重合時，S△EBD＝S△EBO，

此時D(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)，

綜上，在拋物線W或V的圖象上存在點D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標為(﹣3，3)或(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)．