Question

如圖1，已知A （0，a），B（b，0），點(diǎn)P為△ABO的角平分線的交點(diǎn)．

（1）若a、b滿足|a+b|+a²-4a+4=0．求A、B的坐標(biāo)；
（2）連OP，在（1）的條件下，求證：OP+OB=AB；
（3）如圖2．PM⊥PA交x軸于M，PN⊥AB于N，試探究：AO-OM與PN之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）求出a、b的值，即可得出答案；
（2）連接AP、BP，在x軸正半軸截取OM=OP，連接PM，求出∠OMP=∠OPM=

1

2

∠POB，∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=22.5°，根據(jù)AAS證△ABP≌△MBP，推出AB=BM即可；
（3）作 PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，求出PF=PE，∠APF=∠MPE，根據(jù)ASA證△APF≌△MPE，推出AF=EM即可．

解答：解：（1）∵|a+b|+a²-4a+4=0，
|a+b|+（a-2）²=0，
a+b=0，a-2=0，
a=2，b=-2，
∴A的坐標(biāo)是（0，2），B的坐標(biāo)是（-2，0）；

（2）連接AP、BP，在x軸正半軸截取OM=OP，連接PM，
則∠OMP=∠OPM=

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2

∠POB，
∵P為△AOB角平分線交點(diǎn)，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°，
∴∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=

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2

×45°=22.5°，
在△ABP和△MBP中

∠BAP=∠BMP ∠ABP=∠MBP BP=BP

∴△ABP≌△MBP（AAS），
∴AB=BM=OB+OP．

（3）AO-OM=2PN，
理由是：作 PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于 F，
則∠AFP=∠MEP=90°，
∵P是△AOB角平分線交點(diǎn)，
∴PF=PE，
∵PE⊥x軸，PF⊥y軸，
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°，
∴∠FPE=90°，
∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°=∠FPE，
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM，
即∠APF=∠MPE，
在△APF和△MPE中

∠APF=∠MPE PF=PE ∠PFA=∠PEM

∴△APF≌△MPE，
∴AF=EM，
∴AO-OM=（AF+OF）-（EM-OE）
=20E
=2PN，
即AO-OM=2PN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．