【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為D,連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與A,D重合),過點P作y軸的垂線,垂足點為E,連接AE.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)如果P點的坐標為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值.
【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,D(﹣1,4);(2)當(dāng)x=時,S取最大值
【解析】
(1)將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組,然后求得a、b的值可得到拋物線的解析式,然后利用配方法可求得拋物線的解析式;
(2)先求得直線AD的解析式,然后可得到P(x,2x+6).接下來依據(jù)S=PEyP可得到S與x的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值以及此時x的值.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點
∴,
解得,
∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線頂點坐標D為(﹣1,4).
(2)設(shè)AD為解析式為y=kx+b,且過點A(﹣3,0),D(﹣1,4),
則有,解得
∴AD的解析式為:y=2x+6,
∵P在AD上,
∴P(x,2x+6),
∴S =PEyP=(﹣x)(2x+6)
=﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1),
當(dāng)x=時,S取最大值.
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【題目】2019年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費25元/噸,建筑垃圾處理費16元/噸標準,共支付餐廚和建筑垃圾處理費5200元,從2020年元月起,收費標準上調(diào)為餐廚垃圾處理費100元/噸,建筑垃圾處理費30元/噸,若該企業(yè)2020年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2019年相比沒有變化,就要多支付垃圾處理費8800元.
(1)該企業(yè)2019年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸?
(2)該企業(yè)計劃2020年將上述兩種垃圾處理量減少到240噸,且建筑垃圾處理量不超過餐廚垃圾處理量的3倍,則2020年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費共多少元?
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【題目】如圖,在□ABCD 中,對角線 AC 與 BD 相交于點 O ,點 E , F 分別為 OB , OD 的中點,延長 AE 至 G ,使 EG =AE ,連接 CG .
(1)求證: △ABE≌△CDF ;
(2)當(dāng) AB 與 AC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形 EGCF 是矩形?請說明理由.
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【題目】對于四個數(shù)“,,,”及四種運算“,,,”,列算式解答:
(1)求這四個數(shù)的和;
(2)在這四個數(shù)中選出兩個數(shù),按要求進行下列計算,使得:
①兩數(shù)差的結(jié)果最小;
②兩數(shù)積的結(jié)果最大;
(3)在這四個數(shù)中選出三個數(shù),在四種運算中選出兩種,組成一個算式,使運算結(jié)果等于沒選的那個數(shù).
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【題目】張老師抽取了九年級部分男生擲實心球的成績進行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).
(1)抽取的這部分男生有______人,請補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)抽取的這部分男生成績的中位數(shù)落在_____組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應(yīng)的圓心角是多少度?
(3)如果九年級有男生400人,請你估計他們擲實心球的成績達到合格的有多少人?
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【題目】新冠肺炎疫情發(fā)生后,為支援疫情防控,某企業(yè)研發(fā)14條口罩生產(chǎn)線,生產(chǎn)普通防護口罩和普通N95口罩,現(xiàn)日總產(chǎn)量達170萬只.已知每條生產(chǎn)線可日產(chǎn)普通防護口罩15萬只或普通N95口罩5萬只.
(1)將170萬用科學(xué)記數(shù)法表示為 ;
(2)這14條生產(chǎn)線中,生產(chǎn)普通防護口罩和普通N95口罩的生產(chǎn)線分別有多少條?
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【題目】為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額,校園小記者隨機調(diào)查了本校部分同學(xué),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | A | B | C | D | E |
分組(元) | 0≤x<30 | 30≤x<60 | 60≤x<90 | 90≤x<120 | 120≤x<150 |
頻數(shù) | 4 | a | 20 | 8 | 2 |
請根據(jù)以上圖標,解答下列問題:
(1)填空:這次調(diào)查的樣本容量是 ,a= ,m= ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中扇形B的圓心角度數(shù);
(4)該校共有1000人,請估計每月零花錢的數(shù)額x在30≤x<90范圍的人數(shù);
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【題目】如圖,在中,為直徑,過點的直線與相交于點,是弦延長線上一點,,的平分線與分別相交于點,,是的中點,過點作,與,的延長線分別交于點,.
(1)求證:是的切線;
(2)若,.
①求的半徑;
②連接,求的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接DG,過點A作AH∥DG,交BG于點H.連接HF,AF,其中AF交EC于點M.
(1)求證:△AHF為等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的長.
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