Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點E為對角線AC上一點，連接DE，以DE為邊，作矩形DEFG，點F在邊BC上；

（1）觀察猜想：如圖1，當a=b時，=______，∠ACG=______；

（2）類比探究：如圖2，當a≠b時，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度數(shù)；

（3）拓展應用：如圖3，當a=6，b=8，且DF⊥AC，垂足為H，求CG的長；

Answer 1

【答案】（1）1，90°；（2）∠ACG =90°，；（3）CG=.

【解析】

（1）利用SAS可證，由全等三角形的性質(zhì)知，所以，結合可得；

（2）方法一：過點E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分別為M和N，連接EG,FD交于點O,連接OC，利用矩形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠ACG =90°，可證△DAE∽△DCG，由相似三角形的對應線段成比例可得的值；方法二：結合垂直與矩形的性質(zhì)由兩組對應角分別相等的兩個三角形相似可得△CEN∽△CAD，△END∽△EMF，由相似三角形的性質(zhì)可得，，由兩組對應線段成比例及其夾角相等的兩個三角形相似可得△ADE∽△CDG，根據(jù)其性質(zhì)可得結論；

（3）由勾股定理得AC長，由相似三角形的判定可得△ CDH∽△CAD，△DEF∽△ADC，由相似三角形的性質(zhì)可得CH的長及∠EDH=∠CAD，利用AAS得 △DHE≌△DHC，根據(jù)全等的性質(zhì)可得EH的長，進一步可知AE長，結合即知CG的值.

解：（1）根據(jù)題意，易知矩形ABCD與矩形DEFG為正方形

（2）方法一：連接EG,FD交于點O,連接OC.

∵四邊形EDGF和ABCD是矩形

∴∠ADC=∠EDG=90°

即∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC

∴∠ADE =∠CDG

∵∠ BCD=90°OF=OD

∴OC=img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2020/11/27/12/c71d404d/SYS202011271221588355837411_DA/SYS202011271221588355837411_DA.021.png" width="41" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

在矩形DEFG中，EG=DF ∴ OC=

∵OE=OG ∴OE=OC=OG

∴∠OEC=∠OCE ∠OCF=∠OFC

又∵∠OEC+∠ECG+∠EGC=180°

∴2∠OCE+2∠OCG =180°

∴∠OCE+∠OCG =90°即∠ACG =90°

∴∠ECD+∠DCG =90°

在Rt△ADC中，∠ECD+∠DAC =90°∴∠DAE=∠DCG

∴△DAE∽△DCG

∴

方法二：過點E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分別為M和N.

∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°

∴四邊形EMCN是矩形

∴EM=NC,∠MEN=90°.

∵∠ ENC =∠ADC=90°∴EN∥AD

∴△CEN∽△CAD

∴即

∵∠MEN=90°∠FED=90°

∴∠MEF=∠NED

又∵∠END =∠EMF =90°

∴△END∽△EMF

∴

又∵EF=DG∴

∵∠ADC=∠EDG=90°

∴△ADE∽△CDG

∴ , ∠DAE=∠DCG

∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°

∴∠ACG=∠DCG+∠ACD=90°

(3) ∵AD=8,DC=6 ∴AC==10

∵DF⊥AC∴，∠CDH +∠ACD=90°

∵∠DAC+∠ACD=90°

∴∠CDH=∠DAC

∴△ CDH∽△CAD

∴CD2=CH·CA ,∠CDH=∠CAD

∵CD=6,AC=10

∴CH=

∵ 由（2）知 ∠DEF =∠ADC =90°

∴△DEF∽△ADC

∴∠EDH=∠CAD

∴∠CDH=∠EDH

∵∠DHE=∠DHC=90°DH=DH

∴△DHE≌△DHC

∴EH=CH=

∴AE=AC-EH-HC=

∵∴CG=