【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABOC如圖放置,點A、C的坐標(biāo)分別是(0,4)、(﹣1,0),將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′.
(1)若拋物線經(jīng)過點C、A、A′,求此拋物線的解析式;
(2)點M時第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,問:當(dāng)點M在何處時,△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并求出此時M的坐標(biāo);
(3)若P為拋物線上一動點,N為x軸上的一動點,點Q坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時,求點P的坐標(biāo),當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,求點N的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:如圖1中,
∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊
形A′B′OC′,點A的坐標(biāo)是(0,4),
∴點A′的坐標(biāo)為(4,0).
∵拋物線過點C,A,A′,設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0)可得:
,解得: ,
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣x2+3x+4.
(2)
解:如圖2中,連接AA′,設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b,
可得: ,解得: ,
∴直線AA′的函數(shù)解析式是y=﹣x+4.
設(shè)M(x,﹣x2+3x+4),作MN∥y軸交AA′于N,則N(m,﹣m+4),
S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2(x﹣2)2+8,
∵﹣2<0,
∴x=2時,△AMA′的面積最大,最大面積為8,
∴M(2,6).
(3)
解:如圖3中,
設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,﹣x2+3x+4),當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時,
①當(dāng)BQ為邊時,PN∥BQ 且PN=BQ,
∵BQ=4,
∴﹣x2+3x+4=±4.
當(dāng)﹣x2+3x+4=4時,x=0或3,
可得P1(0,4),P2(3,4);
當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣4時,x= ,可得P3( ,﹣4),P4( ,﹣4).
②當(dāng)BQ為對角線時,PB∥x軸,即P1,P2的坐標(biāo)不變;
當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,即P1(0,4),P2(3,4),N1(0,0),N2(3,0).
綜上所述,當(dāng)P1(0,4),P2(3,4),P3( ,﹣4),P4( ,﹣4).時,P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形;
當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,N1(0,0),N2(3,0).
【解析】(1)先確定C,A,A′三點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.(2)如圖2中,連接AA′,設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b,設(shè)M(x,﹣x2+3x+4),作MN∥y軸交AA′于N,則N(m,﹣m+4),構(gòu)建二次函數(shù)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.(3)分兩種情形討論即可.①當(dāng)BQ為邊時,PN∥BQ 且PN=BQ,由BQ=4,可得﹣x2+3x+4=±4.解方程可以得到點P的橫坐標(biāo).②當(dāng)BQ為對角線時,PB∥x軸,即P1 , P2的坐標(biāo)不變;當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,點N的坐標(biāo)利用圖象即可解決.
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【題目】二次函數(shù)在x= 時,有最小值﹣ ,且函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,2),則此函數(shù)的解析式為 .
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)(a≠0,a,b,C為常數(shù))的圖象,若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有實數(shù)根,則m的取值范圍是 .
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【題目】如圖在△ABC中,BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE為外角∠ACD的平分線,BO的延長線交CE于點E,記∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,則以下結(jié)論①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D,與CA的延長線相交于點E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)試說明DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,求 的值.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對稱軸為x= ,且經(jīng)過點(2,0),有下列說法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是拋物線上的兩點,則y1=y2 . 上述說法正確的是( )
A.①②④
B.③④
C.①③④
D.①②
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【題目】某工程隊準(zhǔn)備開挖一條隧道,為了縮短工期,必須在山的兩側(cè)同時開挖,為了確保兩側(cè)開挖的隧道在同一條直線上,測量人員在如圖所示的同一高度定出了兩個開挖點P和Q,然后在左邊定出開挖的方向線AP,為了準(zhǔn)確定出右邊開挖的方向線BQ,測量人員取一個可以同時看到點A,P,Q的點O,測得∠A=28°,∠AOC=100°,那么∠QBO應(yīng)等于多少度才能確保BQ與AP在同一條直線上?
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【題目】田忌賽馬的故事為我們熟知.小亮與小齊學(xué)習(xí)概率初步知識后設(shè)計了如下游戲:小亮手中有方塊10、8、6三張撲克牌,小齊手中有方塊9、7、5三張撲克牌.每人從各自手中取出一張牌進行比較,數(shù)字大的為本“局”獲勝,每次取得牌不能放回.
(1)若每人隨機取手中的一張牌進行比賽,求小齊本“局”獲勝的概率;
(2)若比賽采用三局兩勝制,即勝2局或3局者為本次比賽獲勝者.當(dāng)小亮的三張牌出牌順序為先出6,再出8,最后出10時,小齊隨機出牌應(yīng)對,求小齊本次比賽獲勝的概率.
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【題目】如圖,兩張寬為1cm的矩形紙條交叉疊放,其中重疊部分部分是四邊形ABCD,
(1)試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由
(2)若∠BAD=30°,求重疊部分的面積.
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