Question

【題目】在矩形ABCD中，BC＝6，點E是AD邊上一點，∠ABE＝30°，BE＝DE，連接BD.動點M從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點M作MN∥BD交直線BE于點N.

（1）如圖1，當(dāng)點M在線段ED上時，求證：MN＝EM；

（2）設(shè)MN長為x，以M、N、D為頂點的三角形面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)點M運動到線段ED的中點時，連接NC，過點M作MF⊥NC于F，MF交對角線BD于點G（如圖2），求線段MG的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】分析:（1）先根據(jù)等角對等邊證明EM=EN, 過點作 于點,則.

在Rt△EMH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出MH與EM的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而可證明結(jié)論；

（2）點M從點E出發(fā)沿射線ED運動，所以分當(dāng)點M在線段ED上時與當(dāng)點M在線段ED的延長線上時兩種情況討論，根據(jù)所作的輔助線，可得y與x的關(guān)系；

（3）連接CM交BD于點，可得∠NMC=90°，進(jìn)而可得∽，可得，解之可得MG的長．

詳解:（1）證明：∵°, ° ,

∴ °

∵ ,

∴°

∵∥,

∴

∴°,

∴

過點作 于點,則.

在中，

∴

∴

（2）在中，，

∴

∵ ∴

a.當(dāng)點在線段上時，過點作于點,

在中，

由（1）可知：

,

∴

∴

∴

b.當(dāng)點在線段延長線上時，過點作于點

在中， ,

在中，,

∴,

∴ ;

（3）連接,交于點.

∵為的中點 ,

∴,

∴.

∵ ,

∴,

∴,

∴,

∴.

∵∥ ,

∴,

∴ ,

,

∵ ,

∴,

又∵ ,

∴∽,

∴，即,

∴ .

點睛:本題結(jié)合矩形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各種圖形的判定與性質(zhì)，．