【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線的對(duì)稱軸繞著點(diǎn)(0,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于兩點(diǎn),點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn).

(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

(2)如圖①,若點(diǎn)在直線的下方,求點(diǎn)到直線的距離的最大值;

(3)如圖②,若點(diǎn)軸左側(cè),且點(diǎn)是直線上一點(diǎn),當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí),求所有滿足條件的的值.

【答案】(1) A(-1,1) B(2,4);(2) ; (3) t=1t=0t=1﹣t=3﹣

【解析】分析(1)根據(jù)題意易得點(diǎn)M、P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式;(2)如圖①,過點(diǎn)Qx軸的垂線QC,AB于點(diǎn)C,再過點(diǎn)Q作直線AB的垂線,垂足為D,構(gòu)建等腰直角△QDC,利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)最值的求法進(jìn)行解答;(3)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知: △PBQ中必有一個(gè)內(nèi)角為45°;需要分類討論: ∠PBQ=45°∠PQB=45°;然后對(duì)這兩種情況下的△PAT是否是直角三角形分別進(jìn)行解答.另外,P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△PAT 相似也有兩種情況: ∽△PAT、∽△PAT.

詳解:(1)如圖①,設(shè)直線ABx軸的交點(diǎn)為M.

∵∠OPA=45°,OM=OP=2,即M(﹣2,0).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k0),將M(﹣2,0),P(0,2)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,得

解得故直線AB的解析式為y=x+2;

聯(lián)立 解得

∴ A(-1,1) B(2,4).

(2)如圖①,過點(diǎn)Qx軸的垂線QC,交AB于點(diǎn)C,再過點(diǎn)Q作直線AB的垂線,垂足為D,根據(jù)條件可知△QDC為等腰直角三角形,則QD=QC.

設(shè)Q(m,m2),則C(m,m+2).

QC=m+2﹣m2=﹣(m﹣2+,

QD=QC=[﹣(m﹣2+]

故當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)Q到直線AB的距離最大,最大值為

(3)∵∠APT=45°,

∴△PBQ中必有一個(gè)內(nèi)角為45°,由圖知,∠BPQ=45°不合題意.

①如圖②,若∠PBQ=45°,過點(diǎn)Bx軸的平行線,與拋物線和y軸分別交于點(diǎn)Q′、F.此時(shí)滿足∠PBQ′=45°.

Q′(﹣2,4),F(xiàn)(0,4),

∴此時(shí)△BPQ′是等腰直角三角形,由題意知△PAT也是等腰直角三角形.

(i)當(dāng)∠PTA=90°時(shí),得到:PT=AT=1,此時(shí)t=1;

(ii)當(dāng)∠PAT=90°時(shí),得到:PT=2,此時(shí)t=0.

②如圖③,若∠PQB=45°,①中是情況之一,答案同上;

先以點(diǎn)F為圓心,FB為半徑作圓,則P、B、Q′都在圓F上,設(shè)圓Fy軸左側(cè)的拋物線交于另一點(diǎn)Q″.

則∠PQ″B=PQ′B=45°(同弧所對(duì)的圓周角相等),即這里的交點(diǎn)Q″也是符合要求.

設(shè)Q″(n,n2)(﹣2n0),由FQ″=2,得 n2+(4﹣n20=22,即n4﹣7n2+12=0.

解得n2=3n2=4,而﹣2n0,故n=﹣,即Q″(﹣,3).

可證△PFQ″為等邊三角形,所以∠PFQ″=60°,又PQ″=PQ″,

所以∠PBQ″=PFQ″=30°. 則在△PQ″B中,∠PQ″B=45°,PBQ″=30°.

(i)若△Q″PB∽△PAT,則過點(diǎn)Ay軸的垂線,垂足為E. ET=AE=,OE=1,

所以OT=﹣1,解得t=1﹣;

(ii)若△Q″BP∽△PAT,則過點(diǎn)T作直線AB垂線,垂足為G.

設(shè)TG=a,則PG=TG=a,AG=TG=a,AP=,

a+a=,

解得PT=a=﹣1,

OT=OP﹣PT=3﹣,

t=3﹣

綜上所述,所求的t的值為t=1t=0t=1﹣t=3﹣

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,有一組有規(guī)律的點(diǎn):

A10,1)、A21,0)、A32,1)、A43,0)、A54,1….依此規(guī)律可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有點(diǎn)An (n1,1),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有點(diǎn)An(n1,0)

拋物線C1經(jīng)過A1,A2,A3三點(diǎn),拋物線C2經(jīng)過A2,A3,A4三點(diǎn),拋物線C3經(jīng)過A3A4,A5三點(diǎn),拋物線Cn經(jīng)過An,An1,An2

1)直接寫出拋物線C1,C4的解析式;

2)若點(diǎn)Ee,f1)、Fef2)分別在拋物線C27、C28上,當(dāng)e29時(shí),求證:A26EF是等腰直角三角形;

3)若直線xm分別交x軸、拋物線C2014、C2015于點(diǎn)P、MN,作直線A2015 M、A2015 N,當(dāng)A2015 NM90°時(shí),求sin∠A2015 MN的值.

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【題目】小明學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后,用四個(gè)開關(guān)按鍵(每個(gè)開關(guān)鍵閉合的可能性相等)、一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖

(1)若小明設(shè)計(jì)的電路圖(四個(gè)開關(guān)按鍵都處于打開狀態(tài))如圖所示,求任意閉合一個(gè)開關(guān)按鍵,燈泡能發(fā)光的概率;

(2)若小明設(shè)計(jì)的電路圖(四個(gè)開關(guān)按鍵都處于打開狀態(tài))如圖所示,求同時(shí)閉合其中的兩個(gè)開關(guān)按鍵,燈泡能發(fā)光的概率.(用列表或樹狀圖法)

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【題目】如圖,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長方形面積的多項(xiàng)式:

①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn,你認(rèn)為其中正確的有( )

A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

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【題目】某市藝術(shù)節(jié)期間,小明、小亮都想去觀看茶藝表演,但是只有一張茶藝表演 門票,他們決定采用抽卡片的辦法確定誰去.規(guī)則如下:

將正面分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4 的四張卡片(除數(shù)字外其余都相同)洗勻后,背面朝上 放置在桌面上,隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字后放回;重新洗勻后背面朝上放置在桌面上, 再隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字.如果兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù),則小明去;如果兩個(gè)數(shù)字之和 為偶數(shù),則小亮去.

1請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示抽出的兩張卡片上的數(shù)字之和的所有可能出現(xiàn) 的結(jié)果;

2)你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說明理由.

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【題目】某自行車廠一周內(nèi)計(jì)劃平均每天生產(chǎn)200輛自行車,由于種種原因,實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正,減產(chǎn)記為負(fù)):

星期

增減產(chǎn)量/

1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知,該廠星期五生產(chǎn)自行車 輛.

2)根據(jù)上表記錄的數(shù)據(jù)可知,該廠本周實(shí)際生產(chǎn)自行車 輛.

3)該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制,每生產(chǎn)一輛自行車可得60元,若超額完成任務(wù),則超過部分每輛另外獎(jiǎng)勵(lì)15元,若完不成每天的計(jì)劃量,則少生產(chǎn)一輛扣20元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少元?

4)若該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制,每生產(chǎn)一輛自行車可得60元,若超額完成周計(jì)劃工作量,則超過部分每輛另外獎(jiǎng)勵(lì)15元,若完不成每周的計(jì)劃量,則少生產(chǎn)一輛扣20元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少元?

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【題目】在△ABC中,AM是中線,DAM所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),DEABAC所在直線于點(diǎn)FCEAM,連接BD,AE

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí),觀察發(fā)現(xiàn):△ABM向右平移BC到了△EDC的位置,此時(shí)四邊形ABDE是平行四邊形.請(qǐng)你給予驗(yàn)證;

2)如圖2,圖3,圖4,是當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)M重合時(shí)的三種情況,你認(rèn)為△ABM應(yīng)該平移到什么位置?直接在圖中畫出來.此時(shí)四邊形ABDE還是平行四邊形嗎?請(qǐng)你選擇其中一種情況說明理由.

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【題目】甲、乙兩車從A地出發(fā),勻速駛向B地.甲車以80km/h的速度行駛1h后,乙車才沿相同路線行駛.乙車先到達(dá)B地并停留1h后,再以原速按原路返回,直至與甲車相遇.在此過程中,兩車之間的距離y(km)與乙車行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:乙車的速度是120km/h;②m=160;③點(diǎn)H的坐標(biāo)是(7,80);④n=7.5.

其中說法正確的是(  )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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【題目】如圖,ABDBDC的平分線交于E,BE交CD于點(diǎn)F,1+2=90°.求證:

(1)ABCD;

(2)2+3=90°

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