【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上任意一點,F(xiàn)是線段BC延長線上一點,且CF=AE,連接BE、EF.
(1)如圖1,當E是線段AC的中點時,求證:BE=EF.
(2)如圖2,當點E不是線段AC的中點,其它條件不變時,請你判斷(1)中的結論: .(填“成立”或“不成立”)
(3)如圖3,當點E是線段AC延長線上的任意一點,其它條件不變時,(1)中的結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立;(3)成立.證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由菱形的性質和已知條件得出△ABC是等邊三角形,得出∠BCA=60°,由等邊三角形的性質和已知條件得出CE=CF,由等腰三角形的性質和三角形的外角性質得出∠CBE=∠F,即可得出結論;
(2)過點E作EG∥BC交AB延長線于點G,先證明△ABC是等邊三角形,得出AB=AC,∠ACB=60°,再證明△AGE是等邊三角形,得出AG=AE=GE,∠AGE=60°,然后證明
△BGE≌△ECF,即可得出結論;
(3)過點E作EG∥BC交AB延長線于點G,證明同(2).
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠BCA=60°,
∵E是線段AC的中點,
∴∠CBE=∠ABE=30°,AE=CE,
∵CF=AE,
∴CE=CF,
∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°,
∴∠CBE=∠F=30°,
∴BE=EF;
(2)結論成立;理由如下:
過點E作EG∥BC交AB于點G,如圖2所示:
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AB=BC,∠BCD=120°,AB∥CD,
∴∠ACD=60°,∠DCF=∠ABC=60°,
∴∠ECF=120°,
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
又∵EG∥BC,
∴∠AGE=∠ABC=60°,
又∵∠BAC=60°,
∴△AGE是等邊三角形,
∴AG=AE=GE,∠AGE=60°,
∴BG=CE,∠BGE=120°=∠ECF,
又∵CF=AE,
∴GE=CF,
在△BGE和△CEF中,
,
∴△BGE≌△ECF(SAS),
∴BE=EF.
(3)結論成立.證明如下:
過點E作EG∥BC交AB延長線于點G,如圖3所示:
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AB=BC,
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠ECF=60°,
又∵EG∥BC,
∴∠AGE=∠ABC=60°,
又∵∠BAC=60°,
∴△AGE是等邊三角形,
∴AG=AE=GE,∠AGE=60°,
∴BG=CE,∠AGE=∠ECF,
又∵CF=AE,
∴GE=CF,
在△BGE和△CEF中,
,
∴△BGE≌△ECF(SAS),
∴BE=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一條拋物線與x軸相交于A、B兩點,其頂點P在折線C-D-E上移動,若點C、D、E的坐標分別為(-1,4)、(3,4)、(3,1),點B的橫坐標的最小值為1,則點A的橫坐標的最大值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】面試時,某人的基本知識、表達能力、工作態(tài)度的得分分別是90分,80分,85分,若依次按30%,30%,40%的比例確定成績,則這個人的面試成績是( )分
A. 75B. 80C. 82D. 85
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【題目】已知函數(shù)y=-1與函數(shù)y=kx交于點A(2,b)、B(-3,m)兩點(點A在第一象限),
(1)求b,m,k的值;
(2)函數(shù)y=-1與x軸交于點C,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某景點的門票價格如表:
購票人數(shù)/人 | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
每人門票價/元 | 12 | 10 | 8 |
某校七年級(1)、(2)兩班計劃去游覽該景點,其中(1)班人數(shù)少于50人,(2)班人數(shù)多于50人且少于100人,如果兩班都以班為單位單獨購票,則一共支付1118元;如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票,則只需花費816元.
(1)兩個班各有多少名學生?
(2)團體購票與單獨購票相比較,兩個班各節(jié)約了多少錢?
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