Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且B（1，0），C（0，3），將△BOC繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，C點(diǎn)恰好與A重合．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P為線段AB上的任一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CP，求△PCE面積S的最大值；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，Q為它的圖象上的任一動點(diǎn)，若△OMQ為以O(shè)M為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（1，0），C（0，3），

∴OB=1，OC=3．

∵△BOC繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，C點(diǎn)恰好與A重合．

∴OA=OC=3，

∴A（﹣3，0），

∵點(diǎn)A，B，C在拋物線上，

∴ ，

∴ ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：設(shè)點(diǎn)P（x，0），則PB=1﹣x，

∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，3），

∴OC=3，

∴S△ABC= AB×OC=6，

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC，

∴ ，

∴S△PBE= （1﹣x）2，

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE= PB×OC﹣ （1﹣x）2= （1﹣x）×3﹣ （1﹣x）2=﹣ （x+1）2+ ，

當(dāng)x=﹣1時，S△PCE的最大值為

（3）

解：∵二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，4），

∵△OMQ為等腰三角形，OM為底，

∴MQ=OQ，

∴ = ，

∴8x2+18x=7=0，

∴x= ，

∴y= 或y= ，

∴Q（ ， ），或（ ， ）

【解析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先求出S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=﹣ （x﹣1）2+ ，即可求出最大面積；（3）先求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，由等腰三角形的兩腰相等建立方程求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．