Question

如圖1，△ABC中，AI、BI分別平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)，交BI延長(zhǎng)線(xiàn)于E，連接CI．
（1）△ABC變化時(shí)，設(shè)∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=

 

，∠E=

 

；
（2）若AB=1，且△ABC與△ICE相似，求相應(yīng)AC長(zhǎng)；
（3）如圖2，延長(zhǎng)AI交EC延長(zhǎng)線(xiàn)于F．當(dāng)△ABC形狀、大小變化時(shí)，圖中有哪些三角形始終與△ABI相似？寫(xiě)出這些三角形，并選其中之一證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC與△ICE相似，根據(jù)題意知∠ICE=90°，可分三種情況討論并求出相應(yīng)AC長(zhǎng)；
（3）共三對(duì)△EIF、△ECB、△ACF．以△EIF∽△ABI為例說(shuō)明：由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分別為∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分線(xiàn)，不難得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可證得△EIF∽△ECB；即∠EBC=∠F=∠ABI，再加上兩三角形中一組對(duì)頂角，即可證得所求的兩三角形相似．

解答：解：（1）90°+α，α．

（2））△ABC與△ICE相似，根據(jù)題意知∠ICE=90°，所以本題分三種情況：
①若∠BAC=90°，如圖1，易證∠EIC=45°，則△ABC為等腰直角三角形，∴AC=AB=1．
②∠ABC=90°，如圖2，推出∠E=

1

2

∠BAC，∴△ABC∽△ICE，∴∠ACB=∠E=

1

2

∠BAC，∴∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=2AB=2．
③∠ACB=90°，如圖3，同2，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°，AC=

1

2

AB=

1

2

．

（3）寫(xiě)出：△EIF，△ECB，△ACF．
證明其中一個(gè)三角形與△AIB相似．如：△EIF∽△AIB．
證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE=∠BCF=

1

2

∠ACD．
同理可得出∠BAI=∠IAC=

1

2

∠BAC，∠ABE=∠IBC=

1

2

∠ABC．
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCF=∠ECD=∠BAI+∠ABI=∠BIF，
∴∠ECB=∠EIF；
∵∠BEC=∠IEF，
∴△IEF∽△BCE；
∴∠EBC=∠F=∠ABI．
又∵∠BAI=∠IEF，
∴△BIA∽△FIE．

點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．