Question

已知在直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸的負半軸上，且OA=1，OB=3，
（1）如圖1，以A為直角頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC．求點C的坐標；
（2）如圖2，點P為y軸負半軸上的一個動點，當點P向下運動時，以P點為直角頂點，PA為腰作等腰直角△APQ，過點Q作QE⊥x軸于E，那么PO-QE的值會隨著點P的運動而改變嗎？如果改變，請說明理由；如果不變，請求出PO-QE的值是多少？

Answer 1

分析：（1）如圖1，過C作CD⊥x軸于D．構建全等三角形：△CDA≌△AOB（AAS），則AD=OB=3，CD=OA=1，故OD=4，所以易求C（-4，-1）；
（2）如圖2，過點Q作QR⊥y軸于R．則四邊形QEOR是矩形，通過證△OPA≌△RQP（AAS），推知OA=PR，則OR=OP-PR=OP-OA，所以OP-OR=OA=1，即OP-QE=1，始終保持不變．

解答：解：（1）如圖1，過C作CD⊥x軸于D．
∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△CDA與△AOB中，

∠CDA=∠AOB ∠1=∠2 CA=AB

，
∴△CDA≌△AOB（AAS），
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=4，
∴C（-4，-1）；

（2）（PO-QE）的值不會隨著點P的運動而改變，且OP-QE=1．理由如下：
如圖2，過點Q作QR⊥y軸于R．則四邊形QEOR是矩形，
∴QE=OR．
∵∠APQ=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△APO與△PQR中，

∠AOP=∠PRQ ∠2=∠1 AP=PQ

∴△OPA≌△RQP（AAS），
∴OA=PR，
∴OR=OP-PR=OP-OA，
∴OP-OR=OA=1，即OP-QE=1，始終保持不變．

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．