【題目】已知,如圖:正方形ABCD,將RtEFG斜邊EG的中點與點A重合,直角頂點F落在正方形的AB邊上,RtEFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點,(點P與點F重合),如圖1所示:

(1)求證:EP2+GQ2=PQ2;

(2)若將RtEFG繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°α90°),兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點,如圖2所示:判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系?若存在,證明你的結(jié)論.若不存在,請說明理由;

(3)若將RtEFG繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(90°α180°),兩直角邊所在的直線分別交BA、AD兩邊延長線于P、Q兩點,并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系?按題意完善圖3,請直接寫出你的結(jié)論(不用證明).

【答案】(1)見解析;(2)PF2+FQ2=EP2+GQ2;(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2

【解析】

(1)過點EEHFG,由此可證EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PQ=PH,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,由此可以得到EP2+GQ2=PQ2;

(2)過點EEHFG,交DA的延長線于點H,連接PQ、PH,由此可證EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PH=PQ,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,即EP2+GQ2=PH2,在Rt△PFQ中,PF2+FQ2=PQ2,故PF2+FQ2=EP2+GQ2;

(3)四條線段EP、PFFQ、QG之間的關(guān)系為PE2+GQ2=PF2+FQ2,證明方法同上.

(1)過點EEHFG,連接AH、FH,如圖所示:

EA=AG,HEA=AGQ,HAE=GAD,

∴△EAH≌△GAQ,

EH=QG,HA=AQ,

FAAD,

PQ=PH.

RtEPH中,

EP2+EH2=PH2

EP2+GQ2=PQ2;

(2)過點EEHFG,交DA的延長線于點H,連接PQ、PH,

EA=AG,HEA=AGQ,HAE=GAD,

∴△EAH≌△GAQ,

EH=QG,HA=AQ,

PAAD,

PQ=PH.

RtEPH中,

EP2+EH2=PH2

EP2+GQ2=PH2

RtPFQ中,

PF2+FQ2=PQ2,

PF2+FQ2=EP2+GQ2

(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2

練習(xí)冊系列答案
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(1)該同學(xué)最多可購買多少個甲型小元件?

(2)在該同學(xué)購買甲型小元件最多的前提下,用所購買的甲、乙兩種型號的小元件全部制作成創(chuàng)意作品,在制作中其他費用共花520元,銷售當天,該同學(xué)在成本價(購買小元件的費用+其他費用)的基礎(chǔ)上每件提高2a%(10a50)標價,但無人問津,于是該同學(xué)在標價的基礎(chǔ)上降低a%出售,最終,在活動結(jié)束時作品全部賣完,這樣,該同學(xué)在本次活動中賺了a%,求a的值.

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【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點D在拋物線上,DEy軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標為t(0t4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標.

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(2) 畫出ABC關(guān)于y軸的對稱的DEC(點D與點A對應(yīng))

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