【題目】在菱形ABCD中,ABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF。

(1)若E是線段AC的中點(diǎn),如圖1,易證:BE=EF(不需證明);

(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),其它條件不變, 如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;并選擇一種情況給予證明。

【答案】(2)BE=EF,證明見(jiàn)解析

【解析】解:(2)圖2:BE=EF。圖3。

圖2證明如下:過(guò)點(diǎn)E作EGBC,交AB于點(diǎn)G,

四邊形ABCD為菱形,AB=BC。

∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形。

AB=AC,ACB=60°。

EGBC,∴∠AGE=ABC=60°。

∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形。AG=AE。BG=CE。

CF=AE,GE=CF。

∵∠BGE=ECF=120°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。BE=EF。

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合ABC=60°可得ABC是等邊三角形,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CBE=ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得F=CEF,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出F=30°,從而得到CBE=F,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明。

(2)圖2,過(guò)點(diǎn)E作EGBC,交AB于點(diǎn)G,

根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合ABC=60°可得ABC是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,ACB=60°,再求出AGE是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AG=AE,從而可以求出BG=CE,再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出BGE=ECF=120°,然后利用“邊角邊”證明BGE和ECF 全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。

圖3,證明思路與方法與圖2完全相同, 證明如下:

過(guò)點(diǎn)E作EGBC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

四邊形ABCD為菱形,AB=BC

∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形

AB=ACACB=60°。

EGBC,∴∠AGE=ABC=60°

∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形。AG=AE。BG=CE。

CF=AE,GE=CF。

∵∠BGE=ECF=60°,BGE≌△ECF(SAS)。BE=EF。

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