【題目】在△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD與高BE的交點.
(1)求證:△ADC≌△BDF.
(2)連接CF,若CD=4,求CF的長.
【答案】(1)見解析;(2)4
【解析】
(1)先證明AD=BD,再證明∠FBD=∠DAC,從而利用ASA證明△BDF≌△ADC;
(2)利用全等三角形對應邊相等得出DF=CD=4,根據勾股定理求出CF即可.
(1)證明:∵AD⊥BC,
∴∠FDB=∠ADC=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°=∠ABD,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,
∴∠AEF=∠FDB=90°,
∵∠AFE=∠BFD,
∴由三角形內角和定理得:∠CAD=∠FBD,
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE(ASA);
(2)解:∵△ADC≌△BDE,CD=4,
∴DF=CD=4,
在Rt△FDC中,由勾股定理得:CF===4.
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【題目】(滿分8分)我們把依次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形.
如圖,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH.
(1)這個中點四邊形EFGH的形狀是____________;
(2)證明你的結論.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,點E為CD的中點,射線BE交AD的延長線于點F,連接CF.
(1)求證:四邊形BCFD是菱形;
(2)若AD=1,BC=2,求BF的長.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC=5,cosB=,P是邊AB上一點,以P為圓心,PB為半徑的⊙P與邊BC的另一個交點為D,聯(lián)結PD、AD.
(1)求△ABC的面積;
(2)設PB=x,△APD的面積為y,求y關于x的函數關系式,并寫出定義域;
(3)如果△APD是直角三角形,求PB的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知是等邊三角形,點的坐標是,點在第一象限,的平分線交軸于點,把繞著點按逆時針方向旋轉,使邊與重合,得到,連接.求:的長及點的坐標.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上任意一點,E在AC邊上,且AD=AE.
(1)若∠BAD=40°,求∠EDC的度數;
(2)若∠EDC=15°,求∠BAD的度數;
(3)根據上述兩小題的答案,試探索∠EDC與∠BAD的關系.
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【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合),在AC上取一點E,使∠ADE=30°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當△ADE是等腰三角形時,求AE的長.
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【題目】如圖,圖①由4根火柴棍圍成;圖②由12根火柴棍圍成;圖③由24根火柴棍圍成;…按此規(guī)律,則第⑥個圖形由( )根火柴棍圍成.
A. 60 B. 72 C. 84 D. 112
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【題目】如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D,交BC的延長線于點E.
(1)求證:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的長.
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