Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）y=x+2（0＜x＜2）（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，AE=4﹣2或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩角相等證明：△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，作高AF，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求BF的長(zhǎng)，則可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值；

（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AD=DE時(shí)；②當(dāng)AE=ED時(shí)；③當(dāng)AD=AE時(shí)，討論即可得到答案.

試題解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

過(guò)A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF=AB=1，

∴BF=，

∴BC=2BF=2，

則DC=2﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化簡(jiǎn)得：y=x+2（0＜x＜2）；

（3）當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2，

由（1）可知：此時(shí)△ABD∽△DCE，

則AB=CD，即2=2﹣x，

x=2﹣2，代入y=x+2，

解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，

當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

則ED=EC，即y=（2﹣y），

解得：y=，即AE=，

當(dāng)AD=AE時(shí)，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在，

∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，AE=4﹣2或．