Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）．
（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），求PC的長；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不變．過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；
②如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點經(jīng)過的路線長，也就是△BPC的中位線．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，則PB=

5

，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴

AP

CD

=

PB

PC

  即 

1

2

=

5

PC

，
∴PC=2

5

；

（2）①tan∠PEF的值不變．
理由：過F作FG⊥AD，垂足為G，
則四邊形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=

PF

PE

=2，
∴tan∠PEF的值不變；

②設(shè)線段EF的中點為O，連接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=

1

2

EF，
在Rt△EBF中，OB=

1

2

EF，
∴OP=OB=

1

2

EF，
∴O點在線段BP的垂直平分線上，
∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為O₁O₂=

1

2

PC=

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．