【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經過A(-4,3)、B(2,0)兩點,當x=5和x=-5時,這條拋物線上對應點的縱坐標相等.經過點C(0,-2)的直線l與x軸平行,O為坐標原點.

(1)求直線AB和這條拋物線的解析式;

(2)以A為圓心,AO為半徑的圓記為A,判斷直線l與A的位置關系,并說明理由;

(3)設直線AB上的點D的橫坐標為-1,P(m,n)是拋物線y=ax2+bx+c上的動點,當PDO的周長最小時,求四邊形CODP的面積.

【答案】(1)y=x2-1;(2)直線l與A相切,理由見解析;(3).

【解析】

試題分析:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識,還涉及到解析幾何中拋物線的相關知識,能力要求極高,難度很大.

(1)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;根據(jù)“當x=3和x=-3時,這條拋物線上對應點的縱坐標相等”可知:拋物線的對稱軸為y軸,然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)根據(jù)A點坐標可求出半徑OA的長,然后判斷A到直線l的距離與半徑OA的大小關系即可;

(3)根據(jù)直線AB的解析式可求出D點的坐標,即可得到OD的長,由于OD的長為定值,若△POD的周長最小,那么PD+OP的長最小,可過P作y軸的平行線,交直線l于M;首先證PO=PM,此時PD+OP=PD+PM,而PD+PM≥DM,因此PD+PM最小時.

試題解析:(1)設直線AB的解析式為y=kx+b,則有:

,

解得

直線AB的解析式為y=-x+1;

由題意知:拋物線的對稱軸為y軸,則拋物線經過(-4,3),(2,0),(-2,0)三點;

設拋物線的解析式為:y=a(x-2)(x+2),

則有:3=a(-4-2)(-4+2),a=

拋物線的解析式為:y=x2-1;

(2)易知:A(-4,3),則OA==5;

而A到直線l的距離為:3-(-2)=5;

所以A的半徑等于圓心A到直線l的距離,

即直線l與A相切;

(3)過D點作DMy軸交直線于點M交拋物線于點P,

則P(m,n),M(m,-2);

PO2=m2+n2,PM2=(n+2)2;

n=m2-1,即m2=4n+4;

PO2=n2+4n+4=(n+2)2,

即PO2=PM2,PO=PM;

易知D(-1,),則OD的長為定值;

若△PDO的周長最小,則PO+PD的值最。

PO+PD=PD+PM≥DM,

PD+PO的最小值為DM,

即當D、P、M三點共線時PD+PM=PO+PD=DM;

此時點P的橫坐標為-1,代入拋物線的解析式可得y=-1=-,

即P(-1,-);

S四邊形CPDO=(CO+PD)×|xD|=×(2++)×1=.

練習冊系列答案
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(2)請將兩個統(tǒng)計圖補充完整,并求出新聞節(jié)目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);

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