【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E,PF∥AB交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),此時(shí)點(diǎn)P、D重合,試猜想PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系: .
(2)類(lèi)比探究
如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,試寫(xiě)出PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)解決問(wèn)題
如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí),若AB=6,PD=1,請(qǐng)直接寫(xiě)出平行四邊形PEAF的周長(zhǎng) .
【答案】(1)PD+PE+PF=AB;(2)PD+PE+PF=AB,見(jiàn)解析;(3)14
【解析】
(1)由PE∥AC,PF∥AB可判斷四邊形AEPF為平行四邊形,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠1=∠C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PF=AE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C,則∠B=∠1,則可根據(jù)等腰三角形的判定得PE=BE,所以PE+PF=AB;
(2)因?yàn)樗倪呅?/span>PEAF為平行四邊形,所以PE=AF,又三角形FDC為等腰三角形,所以FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB;
(3)過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn),推出PE+PF=AM,再推出MB=PD即可得到結(jié)論.
解:(1)答:PD+PE+PF=AB.
證明如下:∵點(diǎn)P在BC上,
∴PD=0,
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四邊形PFAE是平行四邊形,
∴PF=AE,
∵PE∥AC,
∴∠BPE=∠C,
∴∠B=∠BPE,
∴PE=BE,
∴PE+PF=BE+AE=AB,
∵PD=0,
∴PD+PE+PF=AB,
故答案為:PD+PE+PF=AB;
(2)如圖2,結(jié)論成立:PD+PE+PF=AB.
證明:過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB,AC于M,N兩點(diǎn),
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四邊形AEPF是平行四邊形,
∵MN∥BC,PF∥AB,
∴四邊形BDPM是平行四邊形,
∴AE=PF,∠EPM=∠ANM=∠C,
∵AB=AC,
∴∠EMP=∠B,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=AE+EM=AM.
∵四邊形BDPM是平行四邊形,
∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,
即PD+PE+PF=AB;
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC延長(zhǎng)線(xiàn)于M、N兩點(diǎn).
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四邊形PEAF是平行四邊形,
∴PF=AE,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵MN∥BC,
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN,
∵PE∥AC,
∴∠EPM=∠FNP,
∴∠AMN=∠FPN,
∴∠EPM=∠EMP,
∴PE=ME,
∵AE+ME=AM,
∴PE+PF=AM,
∵MN∥CB,DF∥AB,
∴四邊形BDPM是平行四邊形,
∴MB=PD,
∴PE+PF﹣PD=AM﹣MB=AB,
∴PE+PF=AB+PD=6+1=7,
∴平行四邊形PEAF的周長(zhǎng)=14,
故答案為:14.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每一小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)△ABC(三個(gè)頂點(diǎn)在相應(yīng)的小正方形的頂點(diǎn)處)在如圖所示的位置:
(1) △ABC的面積為___________ 直接寫(xiě)出)
(2) 在網(wǎng)格中畫(huà)出線(xiàn)段AB繞格點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段A1B1(點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)點(diǎn)A)
(3) 在(2)的基礎(chǔ)上直接寫(xiě)出=___________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】脫式計(jì)算(能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算,并寫(xiě)出簡(jiǎn)算過(guò)程)
①6.8×101-68×0.1
②2.5×(2.9+2.9+5.8)
③5.8÷()
④
⑤3.25×-3.25×+2×325%
⑥
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,圖形G上點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱(chēng)為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”,而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱(chēng)為圖形G的“特征值”
(1)①點(diǎn)A(1,3) 的“坐標(biāo)差”為 。
②拋物線(xiàn)y=-x2+3x+3的“特征值”為 。
(2)某二次函數(shù)y=-x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”為1,點(diǎn)B(m,0)與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn),且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等。
①直接寫(xiě)出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函數(shù)的表達(dá)式。
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以M(2,3)為圓心,2為半徑的圓與直線(xiàn)y=x相交于點(diǎn)D、E請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙M的“特征值”為 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),結(jié)果為3n+5;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),結(jié)果為(其中k是使為奇數(shù)的最小正整數(shù)),并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如:取n=26,則運(yùn)算過(guò)程如圖:
那么當(dāng)n=26時(shí),第2016次“F運(yùn)算”的結(jié)果是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊由長(zhǎng)為30米的籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)為18米(如圖所示),設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米.
(1)若苗圃園的面積為72平方米,求x;
(2)若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8米,這個(gè)苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有,求出最大值和最小值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求若干個(gè)相同的不為零的有理數(shù)的除法運(yùn)算叫做除方. 如:2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)等. 類(lèi)比有理數(shù)的乘方,我們把 2÷2÷2 記作 2③,讀作“2 的圈 3 次方”. (-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)記作(-3)④,讀作“-3 的圈 4 次方”.
一般地,把(a≠0)記作a,記作“a 的圈c次方”.
(1)直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果:2③= ,(-3)④ = ,⑤= .
(2)計(jì)算 24÷23 + (-8)×2③.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8, P是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥AC于點(diǎn)D,PE⊥BC于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)不可能是( )
A.4B.5C.6D.7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法:
①當(dāng)0<x<2時(shí), y1>y2;②y1隨x的增大而增大的取值范圍是x<2;③使得y2大于4的x值不存在;④若y1=2,則x=2﹣或x=1.其中正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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