Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在直線l外，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C，連接AC，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，延長BD至E使BE=AB，連接AE并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F.

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AEB=；（3）BC=，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意作圖即可補(bǔ)全圖形；

（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABD，再由BE=AB，可得∠AEB=∠BAE，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果；

（3）設(shè)l與BC交于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G，如圖3，先利用軸對稱的性推出∠BAH=∠CAH=α，再根據(jù)質(zhì)余角的性質(zhì)推出∠CBD=∠CAH=α，進(jìn)一步利用（2）的結(jié)論和三角形的外角性質(zhì)推出∠F=45°，進(jìn)而可得，然后根據(jù)AAS可證明△ABH≌△BEG，從而得BH=EG，而BC=2BH，進(jìn)一步即可得出EF與BC的數(shù)量關(guān)系.

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示：

（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，

∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=；

（3）線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系是：BC=.

證明：設(shè)l與BC交于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G，如圖2，

∵點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C，∠BAC=2α，

∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，

∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，

∴∠CBD=∠CAH=α，

∵∠AEB，∠AEB=∠CBD+∠F，

∴∠F=45°，則△EFG為等腰直角三角形，∴，

∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，

∴△ABH≌△BEG（AAS），

∴BH=EG，

∵BC=2BH，∴BC=2EG=.