【題目】如圖1,將一塊含有角的三角板放置在一條直線上,邊與直線重合,邊的垂直平分線與邊分別交于兩點,連接.
(1) 是 三角形;
(2)直線上有一動點(不與點重合) ,連接并把繞點順時針旋轉(zhuǎn)到,連接.當(dāng)點在圖2所示的位置時,證明.我們可以用來證明,從而得到.當(dāng)點移動到圖3所示的位置時,結(jié)論是否依然成立?若成立,請你寫出證明過程;若不成立,請你說明理由.
(3)當(dāng)點在邊上移動時(不與點重合),周長的最小值是 .
【答案】(1)等邊;(2)成立.理由見解析; (3)
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得:由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可判斷三角形的形狀;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得是等邊三角形,及是等邊三角形,我們可以用來證明,從而得到‘
(3)將△PEC的周長轉(zhuǎn)化為OP+BC,BC為固定長度,只要求出OP的最小值即可得出答案.
(1)∵OD垂直平分BC
∴OB=OC
∵OB=OC,∠OBC=60°
∴是等邊三角形
故答案是:等邊
(2)成立.
理由如下:由旋轉(zhuǎn)可知,,
是等邊三角形,
.
由知,是等邊三角形,
,
,
即,
,
.
(3) 由旋轉(zhuǎn)可知,,
是等邊三角形,
.PE=OP
由知,是等邊三角形,
,
,
即,
,
,OP=OE
∵周長為:PE+EC+PC=PE+BP+PC=OP+BC=OP+2
∴當(dāng)OP取得最小值時,周長
∵垂線段最短
∴當(dāng)OP⊥BC時,OP取得最小值,此時
∴ 周長的最小值為:
故答案為:
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABO.
(1)點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為_________,點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為_________;
(2)判斷△ABO的形狀,并說明理由.
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【題目】定義:若一個三角形中,其中有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的一半,則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中,,,,過點的直線交邊于點.點在直線上,且.
(1)若,點在延長線上.
① 當(dāng),點恰好為中點時,依據(jù)題意補全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”:_______;
② 如圖2,若,圖中是否存在“半角三角形”(△除外),若存在,請寫出圖中的“半角三角形”,并證明;若不存在,請說明理由;
(2)如圖3,若,保持的度數(shù)與(1)中②的結(jié)論相同,請直接寫出,, 滿足的數(shù)量關(guān)系:______.
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【題目】如圖,點A在直線l上,點B在直線l外,點B關(guān)于直線l的對稱點為C,連接AC,過點B作BD⊥AC于點D,延長BD至E使BE=AB,連接AE并延長與BC的延長線交于點F.
(1)補全圖形;
(2)若∠BAC=2α,求出∠AEB的大。ㄓ煤α的式子表示);
(3)用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】如圖,直線經(jīng)過的直角頂點的邊上有兩個動點,點以的速度從點出發(fā)沿移動到點,點以的速度從點出發(fā),沿移動到點,兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點過點分別作,垂足分別為點.若,設(shè)運動時間為,則當(dāng)___時,以點為頂點的三角形與以點為頂點的三角形全等.
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【題目】某學(xué)校計劃從商店購進兩種商品,購買一個商品比購買一個商品多花10元,并且花費300元購買商品和花費100元購買商品的數(shù)量相等.
(1)求購買一個商品和一個商品各需要多少元;
(2)根據(jù)學(xué)校實際情況,該學(xué)校需要購買種商品的個數(shù)是購買種商品個數(shù)的3倍,還多11個,經(jīng)與商店洽談,商店決定在該學(xué)校購買種商品時給予八折優(yōu)惠,如果該學(xué)校本次購買兩種商品的總費用不超過1000元,那么該學(xué)校最多可購買多少個種商品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究,探究過程如下,請補充完整.
()自變量的取值范圍是全體實數(shù),與的幾組對應(yīng)值列表:
其中__________.
()根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點,并畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.
()觀察函數(shù)圖象,寫出一條函數(shù)的性質(zhì).
()進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):
①方程有__________個實數(shù)根.
②方程有個實數(shù)根,的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A、C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,0),C(1,0),.
(1)求過點A、B的直線的函數(shù)表達式;
(2)在x軸上找一點D,連接DB,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如P、Q分別是AB和AD上的動點,連接PQ,設(shè)AP=DQ=m,問是否存在這樣的m使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△ADB相似?如存在,請求出m的值;如不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題解決)
一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個問題:如圖1,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度數(shù)嗎?
小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP′A,連接PP′,求出∠APB的度數(shù);
思路二:將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CP'B,連接PP′,求出∠APB的度數(shù).
請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.
(類比探究)
如圖2,若點P是正方形ABCD外一點,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度數(shù).
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