二次函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式(x+2數(shù)學(xué)公式2的圖象的頂點為A,與y軸交于點B,以AB為邊在第二象限內(nèi)作等邊三角形ABC.
(1)求直線AB的表達(dá)式和點C的坐標(biāo).
(2)點M(m,1)在第二象限,且△ABM的面積等于△ABC的面積,求點M的坐標(biāo).
(3)以x軸上的點N為圓心,1為半徑的圓,與以點C為圓心,CM的長為半徑的圓相切,直接寫出點N的坐標(biāo).

解:(1)二次函數(shù)y=(x+22的圖象的頂點A(-2,0),與y軸的交點B(0,2),
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0),
可求得 k=,b=2.所以直線AB的表達(dá)式為y=x+2.
可得∠BAO=30°,∵∠BAC=60°,
∴∠CAO=90°.
在Rt△BAO中,由勾股定理得:AB=4.
∴AC=4.點C(-2,4).

(2)∵點C、M都在第二象限,且△ABM的面積等于△ABC的面積,
∴CM∥AB.
設(shè)直線CM的表達(dá)式為y=x+m,點C(-2,4)在直線CM上,
可得 m=6.
∴直線CM的表達(dá)式為y=x+6.
可得點M的坐標(biāo):(-5,1).

(3)由C(-2,4)、M(-5,1)可得:
CM==6.
①當(dāng)⊙C與⊙N外切時,CN=CM+1=7;
在Rt△CAN中,AN===;
∴ON=AN+OA=+2或ON=AN-OA=-2
即:點N的坐標(biāo)為:(--2,0)、(-2,0).
②當(dāng)⊙C與⊙N內(nèi)切時,CN=CM-1=5;
在Rt△CAN中,CN=5,CA=4,則AN=3;
∴ON=AN+OA=3+2或ON=OA-AN=2-3
即:點N的坐標(biāo)為:(-3-2,0),(3-2,0).
綜上可知:
點N的坐標(biāo)(-3-2,0),(3-2,0),(--2,0),(-2,0).
分析:(1)已知拋物線的解析式,其頂點以及函數(shù)圖象與y軸交點坐標(biāo)易求得.在求點C的坐標(biāo)時,要把握住Rt△AOB的特殊性(含30°角),顯然,若△ABC是等邊三角形,那么AC與x軸垂直,無論通過勾股定理求邊長還是根據(jù)B點在AC的中垂線上,都能比較容易的求出點C的坐標(biāo).
(2)“M點在第二象限內(nèi)”確定了點M的大致范圍,若“△ABM的面積等于△ABC的面積”,以AB為底邊進(jìn)行分析,那么點C、點M到直線AB的距離是相同的,即CM∥AB,直線AB的解析式易求,兩直線平行則斜率相同,再代入點C的坐標(biāo)就能通過待定系數(shù)法求出直線CM的解析式,然后代入點M的縱坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
(3)首先求出⊙C的半徑,即CM的長.若⊙C與⊙N相切,就要分兩種情況來考慮:①外切,CN長等于兩圓的半徑和;②內(nèi)切,CN長等于兩圓的半徑差.
在明確CN長的情況下,在Rt△CAN中,通過勾股定理求出AN的長,進(jìn)一步即可確定點N的坐標(biāo).
點評:這道二次函數(shù)題涵蓋了勾股定理、圖形面積的求法、圓與圓的位置關(guān)系等重要知識.最后一個小題中,一定要將外切和內(nèi)切都考慮在內(nèi),以免出現(xiàn)漏解的情況.
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