Question

（2012•荊州模擬）某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產(chǎn)進行了調(diào)研，結(jié)果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條線段上的點來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．
（1）一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價-成本）
（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？若該公司能在一個月內(nèi)售出此種商品30 000件，請你計算一下該公司在一個月內(nèi)最少獲利多少元？

Answer 1

分析：（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；
（2）根據(jù)圖象特征拋物線的頂點為（6，4），可設(shè)拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4，將點（3，1）代入可得出函數(shù)解析式．
（3）根據(jù)利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運用函數(shù)性質(zhì)計算利潤．

解答：解：（1）由圖象知：3月份每件商品售價6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售時的利潤為5元．

（2）由圖知，拋物線的頂點為（6，4），
故可設(shè)拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4．
∵拋物線過（3，1）點，
∴a（3-6）²+4=1．
解得a=-

1

3

．
故拋物線的解析式為Q=-

1

3

（t-6）²+4，
即Q=-

1

3

t2+4t-8，其中t=3，4，5，6，7．

（3）設(shè)每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b．
∵線段經(jīng)過（3，6）、（6，8）兩點，
∴

3k+b=6 6k+b=8.

解得

k= 2 3 b=4.

∴M=

2

3

t+4，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為：W=M-Q=(

2

3

t+4)-(-

1

3

t2+4t-8)=

1

3

t2-

10

3

t+12．
即W=

1

3

(t-5)2+

11

3

，
其中t=3，4，5，6，7．
當(dāng)t=5時，W有最小值為

11

3

元，
即30000件商品一個月內(nèi)售完至少獲利30000×

11

3

=110000（元）．
答：該公司一個月內(nèi)至少獲利110000元．

點評：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難點在第3個問題：表示利潤，注意配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度較大．