Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C。

　　(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

　　(2)D為BD中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,2），求拋物線的解析式；

　　(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線BO上，且使得△AMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）（，- ）；（2）；（3）P1(1, )、P2(-7， )、P3(-5, )．

【解析】試題解析：（1）利用配方法或公式法都能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）可過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，那么DF是△BOC的中位線，由此得出DF、OF、CF的長(zhǎng)；再由△AFD∽△AOE得出的比例線段以及OE的長(zhǎng)，即可求出m的值，由此確定函數(shù)的解析式．

（3）此題中，首先要確定點(diǎn)M的位置：已知“△AMC的周長(zhǎng)最小”，那么可作點(diǎn)C關(guān)于直線BO的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′與直線BO的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)M；

確定點(diǎn)M后，由于所求平行四邊形的四頂點(diǎn)順序并不確定，所以分：AM為邊和AM為對(duì)角線兩種情況討論；在解答時(shí)，可根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的特點(diǎn)，過(guò)P、Q作坐標(biāo)軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵y＝x22x＝ (x2mx+ m2) m2＝ (xm)2m，

∴拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，m)．

（2）令x22x＝0，解得x1=0，x2=m．

∵拋物線y＝x22x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，

∴A（m，0），且m＜0．

過(guò)點(diǎn)span>D作DF⊥x軸于F，如圖；

由D為BO中點(diǎn)，DF∥BC，可得CF=FO=CO．

∴DF=BC．

由拋物線的對(duì)稱性得AC=OC．

∴AF：AO=3：4．

∵DF∥EO，

∴△AFD∽△AOE．

∴．

由E（0，2），B(m，m)，得OE=2，DF=m．

∴．

∴m=-6．

∴拋物線的解析式為y＝x22x．

（3）依題意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直線OB的解析式為y=-x，直線BC為x=-3．

作點(diǎn)C關(guān)于直線BO的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．

由A（-6，0），C′（0，3），可得直線AC′的解析式為y＝x+3．

由

解得

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2）．

由點(diǎn)P在拋物線y＝x22x上，設(shè)P（t，t22t）．

（ⅰ）當(dāng)AM為所求平行四邊形的一邊時(shí)．

①如圖，過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)P1作P1H⊥BC于H，

則xG=xM=-2，xH=xB=-3．

∵四邊形AMP1Q1為平行四邊形，

∴AM=Pspan>1Q1，∠P1Q1H=∠AKC，

∵BK∥MG，

∴∠AMG=∠AKC，

∴∠P1Q1H=∠AMG，

∵，

∴△AMG≌△P1Q1H．

∴P1H=AG=4．

∴t-（-3）=4．

∴t=1．

∴P1(1，)．

②如圖，

同①方法可得P2H=AG=4．

∴-3-t=4．

∴t=-7．

∴P2(7，)．

（ⅱ）當(dāng)AM為所求平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖；

過(guò)M作MH⊥BC于H，過(guò)P3作P3G⊥x軸于G，則xH=xB=-3，xG=xP3=t．

由四邊形AP3MQ3為平行四邊形，可證△AP3G≌△MQ3H．

可得AG=MH=1．

∴t-（-6）=1．

∴t=-5．

∴P3(5， )．

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1， )、P2(7， )、P3(5， )．