Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．

（3）在（1）中的拋物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

    解：（1）由得，則拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3，

（2）設(shè)D（t，﹣t²+2t+3），過點D作DH⊥x軸，

則S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH﹣S_△BOC=（﹣t²+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t²+2t+3）﹣×3×3=﹣t²+t，

∵﹣＜0，

∴當t=﹣=時，D點坐標是（，），△BCD面積的最大值是；

（3）設(shè)過點P與BC平行的直線與拋物線的交點為Q，

∵P點的坐標為（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴過點P與BC平行的直線為y=﹣x+5，

由得Q的坐標為（2，3），

∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴M的坐標為（1，2），

設(shè)PM與x軸交于點E，

∵PM=EM=2，

∴過點E與BC平行的直線為y=﹣x+1，

由得或，

∴點Q的坐標為（，﹣），（，﹣），

∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點Q的坐標為（2，3），（，﹣），（，﹣）．