【題目】已知:如圖,直線交坐標軸于A、C兩點,拋物線過A、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為拋物線位于第三象限上一動點,連接PA,PC,試問△PAC是否存在最大值,若存在,請求出△APC取最大值以及點P的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)點M為拋物線上一點,點N為拋物線對稱軸上一點,若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形,請直接寫出點M的坐標.
【答案】(1);(2)存在,△PAC的面積最大值為,點P的坐標為(,);(3)點M的坐標為:或或(,)或(,).
【解析】
(1)由一次函數(shù)解析式求得A、C兩點的坐標,然后代入到二次函數(shù)解析式,用待定系數(shù)法求解;
(2)過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,直線PQ,AC交于點P,設點P的坐標為(,),則點D的坐標為(,),根據(jù)兩點間距離公式求得PD =,然后根據(jù)三角形面積公式求得==,由此根據(jù)二次函數(shù)的性質分析最值;
(3)分情況討論:當點M在對稱軸左側時,構造矩形EFCG,設點M的坐標為(,),利用AAS定理證明△MEN≌△CFM,然后結合拋物線對稱軸求得MF==,NE=,從而列方程求解;作MF⊥y軸,垂足為F,MF交對稱軸于點E;設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,然后列方程求解;當點M在對稱軸的右側時,過點M作EF∥x軸,分別交對稱軸與y軸于點E和點F.設點M的坐標為(,),然后結合拋物線對稱軸求得ME= =,CF= = ,然后列方程求解;作ME⊥對稱軸,垂足為E,ME交NC,交點為F.設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,然后列方程求解.
解:(1)交x軸于A(-3,0),交y軸于C(0,-3),
∵拋物線經(jīng)過點A(-3,0),點C(0,-3),
∴,解得,
∴拋物線解析式為:;
(2)如圖2,過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,直線PQ,AC交于點P,
設點P的坐標為(,),則點D的坐標為(,),
∴線段PD的長為:()-()=,
∵,,
∴====,
∵,∴當時候,△PAC的面積又最大值,最大值為,
此時點P的坐標為(,);
(3)①如圖3,當點M在對稱軸左側時,構造矩形EFCG,設點M的坐標為(,),
∵△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形
∴∠NME+∠CMF=90°,∠FCM+∠CMF=90°
∴∠NME=∠FCM
又∵∠E=∠F=90°,MN=MC
∴△MEN≌△CFM,
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1,
∴MF==,NE=,
∵MF=NE,∴,
解得(舍),,
故點M的坐標為;
②如圖6,作MF⊥y軸,垂足為F,MF交對稱軸于點E;
設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,
由①同理可證△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:(舍),,
故點M的坐標為(,);
③如圖5,當點M在對稱軸的右側時,過點M作EF∥x軸,分別交對稱軸與y軸于點E和點F.
設點M的坐標為(,),
由①同理可證△MEN≌△MFC,拋物線對稱軸為直線x=-1,
則ME= =,CF= = ,
∵ME=CF,∴,解得:(舍),,
故的點M的坐標 為;
④如圖4,作ME⊥對稱軸,垂足為E,ME交NC,交點為F.
設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,
由①同理可證△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:,(舍),
故點M的坐標為(,);
綜上可得點M的坐標為:或或(,)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知如圖,△ABC中AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點M,經(jīng)過B、M兩點的⊙O交BC于G,交AB于點F,F(xiàn)B恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當BC=6,cosC=,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了減少霧霾的侵狀,某市環(huán)保局與市委各部門協(xié)商,要求市民在春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹,為了征集市民對禁燃的意見,政府辦公室進行了抽樣調查,調查意見表設計為:“滿意““一般””無所謂””反對”四個選項,調查結果匯總制成如下不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)提供的信息解答下面的問題.
(1)參與問卷調查的人數(shù)為 .
(2)扇形統(tǒng)計圖中的m= ,n= .補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若本市春節(jié)期間留守市區(qū)的市民有32000人,請你估計他們中持“反對”意見的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象交軸于,兩點,交軸于點,其中.
(1)求點的坐標,并用含的式子表示;
(2)連接,,當為銳角時,求的取值范圍;
(3)若為軸上一個動點,連接,當點的坐標為時,直接寫出的最小值.
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【題目】某中學疫情期間為了切實抓好“停課不停學”活動,借助某軟件平臺隨機抽取了該校部分學生的在線學習時間,并將結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上信息回答下列問題
(1)本次調查的人數(shù)為 , 學習時間為7小時的所對的圓心角為 ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若全校共有學生1800人,估計有多少學生在線學習時間不低于8個小時.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D,過D作⊙O的切線交AC于點E.
(1)證明:DE⊥AC.
(2)若BC=8,AD=6,求AE的長.
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【題目】學校數(shù)學社團的同學們在學生中開展“了解校訓意義”的調查活動.采取隨機抽樣的方式進行問卷調查.問卷調查的結果分為、、、四類.類表示非常了解;類表示比較了解;類表示基本了解;類表示不太了解.(要求每位同學必須選并且只能選擇一項)統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理如表:
類別 | 頻數(shù) | 頻率 |
20 | ||
0.3 | ||
11 | 0.22 | |
4 | 0.08 |
(1)表中__________;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求出類同學數(shù)所對應的扇形圓心角為_________度.
(3)根據(jù)調查結果,請你估計該校1500名學生中對校訓“非常了解”的人數(shù);
(4)學校在開展了解校訓意義活動中,需要從類的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取2人參加展示活動,求恰好選中甲乙兩人的概率?(請用列表法或是樹狀圖表示)
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【題目】若一個函數(shù)當自變量在不同范圍內取值時,函數(shù)表達式不同,我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù),下面我們參照學習函數(shù)的過程與方法,探究分段函數(shù)y=的圖象與性質,探究過程如下,請補充完整.
(1)列表:
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 3 | m | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | n | … |
其中,m= ,n= .
(2)描點:在平面直角坐標系中,以自變量x的取值為橫坐標,以相應的函數(shù)值y為縱坐標,描出相應的點,如圖所示,請畫出函數(shù)的圖象.
(3)研究函數(shù)并結合圖象與表格,回答下列問題:
①點A(,y1),B(5,y2),C(x1,),D(x2,6)在函數(shù)圖象上,則y1 y2,x1 x2;(填“>”,“=”或“<”)
②當函數(shù)值y=1時,求自變量x的值;
(4)若直線y=﹣x+b與函數(shù)圖象有且只有一個交點,請直接寫出b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=a(x+3)(x﹣k)交x軸于點A、B,(A左B右),交y軸于點C,△AOC的周長為12,sin∠CBA=,則下列結論:①A點坐標(﹣3,0);②a=﹣;③點B坐標(8,0);④對稱軸x=.其中正確的有( )個.
A.4B.3C.2D.1
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