Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)有函數(shù)y=

1

2x

（x＞0）和一條直線的圖象，直線與x、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1，點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PM、PN（M、N為垂足）分別與直線AB相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．
（1）如果交點(diǎn)E、F都在線段AB上（如圖），分別求出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)（只需寫出答案．不需寫出計(jì)算過程）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，試求△OEF的面積（結(jié)果可用a、b的代數(shù)式表示）；
（3）如果AF=

6

2

，求

OF

OE

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖示知，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是b，橫坐標(biāo)是OB-ON=1-b；點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是OA-AM=1-a，橫坐標(biāo)是a；
（2）利用割補(bǔ)法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根據(jù)相似三角形的判定定理SAS證明△AOF∽△BEO．

解答：解：（1）點(diǎn)E（a，1-a），點(diǎn)F（1-b，b）；

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；

（3）∵AF=

6

2

點(diǎn)F（1-b，b）
∴2b2=(

6

2

)2
∴b=

3

2

∴

3

2

=

1

2a

a=

3

3

由點(diǎn)F和點(diǎn)E的坐標(biāo)可以求得：
OF=

6

2

，OE=

15-2 3

3

，
∴

OF

OE

=

3 90-12 3

30-4 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題、勾股定理．利用反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，圖象上所有的點(diǎn)都滿足函數(shù)解析式．