Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

如圖是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的最大面積為，

此時(shí)．

【解析】

（1）首先將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．再通過配方、令函數(shù)值為0可求出頂點(diǎn)D以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）由圖可知：若以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，令EF∥AB顯然不符合要求，那么只需考慮BF∥AE即可，那么還需滿足BF=AE；首先求出直線BD的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)以及AE、BF的長，由此可確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中驗(yàn)證即可．
（3）分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，那么△APQ的面積可由五邊形和△APS（以解答圖為準(zhǔn)）的面積差求得，在得到關(guān)于△APQ的面積和Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定該題的答案．

解：拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，有：

，

解得

拋物線的解析式為：

由，

解得：，

由

．

四邊形AEBF是平行四邊形，

設(shè)直線BD的解析式為：，則

，

，

解得

直線BD的解析式為：；

當(dāng)時(shí)，

，，

，，

，

的橫坐標(biāo)為2，

，

．

如圖，設(shè)，作軸，軸于點(diǎn)S、R，且，

，，，，

當(dāng)時(shí)，的最大面積為，

此時(shí)．