【題目】如圖,已知⊙O的半徑OA的長為2,點B是⊙O上的動點,以AB為半徑的⊙A與線段OB相交于點C,AC的延長線與⊙O相交于點D.設(shè)線段AB的長為x,線段OC的長為y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;

(2)當四邊形ABDO是梯形時,求線段OC的長.

【答案】(1),定義域為;(2)OC的長為

【解析】試題分析:由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BC,再由OC=OB–BC得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)由梯形的性質(zhì)分情況討論:當OD//A B時,由相似三角形對應邊成比例得出AB的值,進而得出OC的長; ②當BD//OA時, 設(shè)∠ODA= ,由兩直線平行內(nèi)錯角相等和等邊對等角得到∠ADB=α,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半得到∠AOB=2α,由三角形外交性質(zhì)和等邊對等角得到∠OAB=∠OBA,由三角形內(nèi)角和定理得到∠BOA=45°,∠BOD=90°,可得BD值,由三角形相似對應邊成比例得y值,進而得到OC長.

試題解析:解:(1)在⊙O與⊙A中,∵OA=OB,AB=AC∴∠ACB ABC=OAB

∴△ABC∽△OAB

,

,OC=OB–BC,y關(guān)于x的函數(shù)解析式,

定義域為

2①當OD//A B時,∴,,

,

(負值舍去).

AB=,這時ABOD,符合題意.

OC=

②當BD//OA時,設(shè)∠ODA= ,BD//OA,OA=OD,∴∠BDA=OAD=ODA=

又∵OB=OD,∴∠BOAOBD=ODB.

AB=AC,OAOB,∴∠OABABC=ACB=COA+CAO

∵∠AOB+OABOBA=180°,

BOA45°

∴∠ODB=OBD=45°,BOD=90°,BD=. BD//OA,

,

由于BDOA, 符合題意.

∴當四邊形ABDO是梯形時,線段OC的長為

或:過點BBHOA,垂足為H, BH=OH=AH=2–,

.

.

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