Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線PE，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線PF，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A和點B的坐標代入得： ，

解得：a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為D為（﹣1，4）

（2）解：設AD的解析式為y=kx+b，將點A和點D的坐標代入得： ，

解得：k=2，b=6．

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6）．

∴S= PEyP= （﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1）．

∴當x=﹣ =﹣ 時，S取值最大值

（3）解：如圖1所示：設P′F與y軸交與點N，過點P′作P′M⊥y軸與點M．

∵當x=﹣ 時，S取值最大值，

∴P（﹣ ，3）．

由翻折的性質(zhì)可知：∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E= ．

∵PF∥y軸．

∴∠PFE=∠FEN．

∴EN=FN．

設EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

∵在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2=EN2，

∴（3﹣m）2+（ ）2=m2，解得：m= ．

∵S△P′EN= P′NP′E= ENP′M，

∴P′M= ．

∵在Rt△EMP′中，EM= = ，

∴OM=EO﹣EM= ．

∴P′（ ， ）．

把x= 代入拋物線的解析式得：y= ≠ ，

∴點P′不在該拋物線上

【解析】（1）用待定系數(shù)法將A、B兩點坐標代入函數(shù)解析式即可求解，再用配方法或代入頂點公式求出頂點坐標。
（2）要求△PAE得面積，由于PE⊥y軸，△PAE得面積=PEPE邊上的高，因此就得求出直線AD的函數(shù)解析式，根據(jù)點P在直線AD上，即可用含x的代數(shù)式求出PE、PE邊上的高，即可寫出s與x 的函數(shù)關(guān)系式，再求出頂點坐標即可求得結(jié)果。
（3）要求點P′的坐標，過點P′作P′M⊥y軸與點M．由（2）得出點P的坐標，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可以證得∠PFE=∠P′FE，PF=P′F，PE=P′E，再證明EN=FN，在Rt△P′EN中，運用勾股定理求出EN的長，再根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半等于斜邊乘以斜邊上的高，求出P′M的長，在Rt△EMP′中求出EM的長，即可求得OM的長，就可用寫出點P′的坐標，再將點P′的橫坐標代入函數(shù)解析式就可知道點P′是否在此拋物線上。