Question

如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點，折疊正方形ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展平后，折痕DE分別交AB，AC于點E，G，連接GF，下列結論：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③；④四邊形ABFG為等腰梯形；⑤BE=2OG，則其中正確的結論個數(shù)為（  ）。

A．2                B．3                C．4                D．5

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數(shù)，然后利用三角形外角的性質，求得∠AGD=112.5°；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED

AD

AE

③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；

④由折疊的性質與平行線的性質，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；

⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質，即可得BE=2OG．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折疊的性質可得：∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，

∴∠AGD=180°-∠GAD-∠ADG=112.5°，

故①正確．

∵tan∠AED=

AD

AE

，

由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜0.5AB，

∴tan∠AED=故②錯誤．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，

∴S_△AGD＞S_△OGD，

故③錯誤．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正確．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四邊形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=

EF=2OG．故⑤正確．∴其中正確結論的序號是：①④⑤．

故選B

考點：正方形的性質、折疊的性質

點評：此題考查了正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用