Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C.

（1）拋物線的解析式為________；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，連結(jié)AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

Answer 1

【答案】y=x2+2x+3 (,)

【解析】

（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得一個(gè)二元一次方程組，解之即可得出b、c值，從而可得拋物線解析式.

（2）延長CP交x軸于點(diǎn)E，在x軸上取點(diǎn)D，使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)N，作AI⊥CD交CD于I，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知

∠DCO=∠ACO，結(jié)合已知條件可知∠ACD=∠ECD，由此得tan∠ACD=tan∠ECD，即， 根據(jù)等面積法求得AI=， 由勾股定理得CI=， 即， 由此設(shè)EN=3x，則CN=4x，根據(jù)tan∠CDO=tan∠EDN得DN=x，由CD=CN-DN求得x值以及E點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求得直線CE解析式y=-x+3，將直線CE和拋物線解析式聯(lián)立、解之即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）解：∵A（－1，0），B（3，0）在拋物線上，

∴，

解得：

∴拋物線解析式為：y=x2+2x+3.

故答案為：y=x2+2x+3.（2）延長CP交x軸于點(diǎn)E，在x軸上取點(diǎn)D，使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)N，作AI⊥CD交CD于I，

∵CD=CA，OC⊥AD，

∴∠DCO=∠ACO，

∵∠PCO=3∠ACO，

∴∠ACD=∠ECD，

∴tan∠ACD=tan∠ECD，

∴，

在Rt△ACI中，

又∵A（-1，0），C（0，3），

∴OA==OD=1，OC=3，

∴AD=2，AC=DC=

AI=，

∴CI=，

∴，

設(shè)EN=3x，則CN=4x，DE=5x，

∵tan∠CDO=tan∠EDN，

∴，

∴DN=x，

∴CD=CN-DN=4x-x=3x=，

∴x=，

即DN=， EN=，

∴DE=，

∴E（， 0），

設(shè)直線CE解析式為：y=kx+b，

∴，

解得，

∴直線CE解析式為：y=-x+3，

∴，

解得：（舍去）或，

∴P（，）.