【題目】我們知道,三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn),過(guò)三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交,兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形.若有一個(gè)圖形與原三角形相似,則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“內(nèi)似線”.
(1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 ;
(2)如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求證:BD是△ABC的“內(nèi)似線”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分別在邊AC、BC上,且EF是△ABC的“內(nèi)似線”,求EF的長(zhǎng).
【答案】(1)1;(2)證明見解析;(3)EF的長(zhǎng)是.
【解析】試題分析:(1)過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,即可得出答案;
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC,證出△BCD∽△ABC即可;
(3)分兩種情況:①當(dāng)時(shí),EF∥AB,由勾股定理求出AB==5,作DN⊥BC于N,則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,求出DN=(AC+BC-AB)=1,由幾啊平分線定理得出,求出CE=,證明△CEF∽△CAB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出EF=;
②當(dāng)時(shí),同理得:EF=即可.
試題解析:(1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條;理由如下:
過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,如圖1所示:
則△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,
∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內(nèi)似線”;
(2)∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴△BCD∽△ABC,
∴BD是△ABC的“內(nèi)似線”;
(3)設(shè)D是△ABC的內(nèi)心,連接CD,
則CD平分∠ACB,
∵EF是△ABC的“內(nèi)似線”,
∴△CEF與△ABC相似;
分兩種情況:①當(dāng)時(shí),EF∥AB,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
作DN⊥BC于N,如圖2所示:
則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,
∴DN=(AC+BC-AB)=1,
∵CD平分∠ACB,
∴,
∵DN∥AC,
∴,即,
∴CE=,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,即,
解得:EF=;
②當(dāng)時(shí),同理得:EF=;
綜上所述,EF的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).若,當(dāng)__時(shí),是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①ac<0,②b﹣2a<0,③b2﹣4ac<0,④a﹣b+c<0,正確的是( )
A.①②B.①④C.②③D.②④
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【題目】有四張僅一面分別標(biāo)有1,2,3,4的不透明紙片,除所標(biāo)數(shù)字不同外,其余都完全相同.
(1)將四張紙片分成兩組,標(biāo)有1、3的為第一組,標(biāo)有2、4的為第二組,背面向上,放在桌上,從兩組中各隨機(jī)抽取一張,求兩次抽取數(shù)字和為5的概率;
(2)將四張紙片洗勻后背面向上,放在桌上,一次性從中隨機(jī)抽取兩張,用樹形圖法或列表法,求所抽取數(shù)字和為5的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,的平分線交于點(diǎn),點(diǎn)在上,以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn),分別交,于點(diǎn),
(1)試判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)若,,求陰影部分的面積(結(jié)果保留)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知Rt△OAB,OAB90,ABO30,斜邊OB4,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到△COD,如圖1,連接BC.
(1)求BC的長(zhǎng)度;
(2)如圖2,點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),在△OCB邊上運(yùn)動(dòng),M沿OCB路徑勻速運(yùn)動(dòng),N沿OBC路徑勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5個(gè)單位/秒,點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位/秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,△OMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016山東省煙臺(tái)市)某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度.如圖2,某一時(shí)刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上,另一部分落在斜坡上,測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)BC為4米,落在斜坡上的影長(zhǎng)CD為3米,AB⊥BC,同一時(shí)刻,光線與水平面的夾角為72°,1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長(zhǎng)QR為2米,求旗桿的高度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)某調(diào)查小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法,對(duì)某市部分中小學(xué)生一天中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)該調(diào)查小組抽取的樣本容量是多少?
(2)求樣本學(xué)生中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5小時(shí)的人數(shù),并補(bǔ)全占頻數(shù)分布直方圖;
(3)請(qǐng)估計(jì)該市中小學(xué)生一天中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…是分別以A1,A2,A3,…為直角頂點(diǎn),一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形,其斜邊的中點(diǎn)C1(x1,y1),C2(x2,y2),C3(x3,y3),…均在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上.則y1+y2+…+y8的值為( )
A.B.6C.D.
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