Question

【題目】矩形ABCD中，點(diǎn)C（3，8），E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形ABCD在平面內(nèi)滑動(dòng)，如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ；

（2）當(dāng)t=4時(shí)，求OE的長(zhǎng)及點(diǎn)B下滑的距離；

（3）求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)F到點(diǎn)O的最大距離；

（4）當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，FA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）F（3，4）；（2）8-；（3）7；（4）t的值為或.

【解析】試題分析：（1）先確定出DF，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）利用直角三角形的性質(zhì)得出∠ABO=30°，即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，即可得出結(jié)論；

（4）分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．

試題解析：解：（1）當(dāng)t=0時(shí)．∵AB=CD=8，F為CD中點(diǎn)，∴DF=4，∴F（3，4）；

（2）當(dāng)t=4時(shí)，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=AB=4，BO=，∴點(diǎn)B下滑的距離為．

（3）當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，∴FO=OE+EF=7．

（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF==5，①設(shè)AO=t1時(shí)，⊙F與x軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴，∴，∴t1=，②設(shè)AO=t2時(shí)，⊙F與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得，t2=．

綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，FA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值為或．