Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，AB邊的垂直平分線EF交BD于點E，連AE

（1）比較∠AED與∠ABC的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AED=∠ABC．

證明：∵EF垂直平分AB，

∴EA=EB，

∴∠EAB=∠EBA，

∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠EBA，

∴∠DEA=∠ABC；

（2）解：∵△ADE是等腰三角形，

∴∠EAD=∠DEA，

∵∠DEA=∠ABC，

設(shè)∠DBC=x°，

∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，

∴∠ABC=2x°；

∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，

∵∠ABC+∠CAB=90°，

∴2x°+3x°=90°，

解得：x=18°，

∴∠CAB=3x°=54°．

【解析】①由AB邊的垂直平分線EF交BD于點E,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得EA=EB,即可證得∠EAB=∠EBA,則可得∠AED=2∠EAB又由BD平分∠ABC交AC于點D,則可得∠ABC=2∠EBA,則可證得結(jié)論；

②設(shè)∠DBC=ⅹ°由△ADE是等腰三角形,可求得∠EAD=∠AED=∠ABC=2ⅹ°,∠BAE=∠ABE=∠CBD=ⅹ°,則可得方程2ⅹ°+3ⅹ°=90°,繼而求得結(jié)果.

【考點精析】關(guān)于本題考查的角的平分線和三角形的內(nèi)角和外角，需要了解從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能得出正確答案．