Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形BCD中，動點F、E分別以相同的速度從D、C兩點同時出發(fā)向C和B運動（任何一個點到達即停止），過點P作PM∥CD交BC于M點，PN∥BC交CD于N點，連接MN，在運動過程中，下列結論：①△ABE≌△BCF；②AE⊥BF；③CF2＝PEBF；④線段MN的最小值為﹣1．其中正確的結論有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由正方形的性質及條件可判斷出①△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，再根據∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判斷②，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性質，結合CF=BE可判斷③；然后根據點P在運動中保持∠APB=90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，最后在Rt△BCG中，根據勾股定理，求出CG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段CP的最小值，可判斷④．

解：如圖，

∵動點F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，故②正確；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴，

∴CFBE＝PEBF，

∵CF＝BE，

∴CF2＝PEBF，故③正確；

∵點P在運動中保持∠APB＝90°，

∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝1，

∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，

即線段CP的最小值為﹣1，故④正確；

故答案為：①②③④．