Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B點坐標；
（2）如圖2，若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°連OD，求∠AOD的度數(shù)；
（3）如圖3，過點A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請證明：若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）

（2）解：方法一：如圖所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD為等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（AAS），

∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB為等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法二：如圖所示，過C作CK⊥x軸交OA的延長線于K，

則△OCK為等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，

又∵△ACD為等腰Rt△，

∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO，AC=DC，

∴△ACK≌△DCO（SAS），

∴∠DOC=∠K=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°

（3）解：AM=FM+OF成立，理由：

方法一：如圖所示，在AM上截取AN=OF，連EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH為等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN，

∴AM﹣MF=OF，

即AM=FM+OF；

方法二：如圖所示，在x軸的負半軸上截取ON=AM，連EN，MN，

則△EAM≌△EON（SAS），

∴EN=EM，∠NEO=∠MEA，

即∠NEF+∠FEO=∠MEA，

而∠MEA+∠MEO=90°，

∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，

而∠FEO+∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF，

∴△NEF≌△MEF（SAS），

∴NF=MF，

∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，

即AM=FM+OF．

【解析】（1）因為△AOB為等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，則B點坐標可求；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求證△DFC≌△CEA，再根據(jù)等量變換，即可求出∠AOD的度數(shù)可求；（3）在AM上截取AN=OF，連EN，易證△EAN≌△EOF，再根據(jù)角與角之間的關系，證明△NEM≌△FEM，則有AM﹣MF=OF，即可求證等式成立．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°即可以解答此題．