Question

【題目】將兩塊全等的含角的直角三角板按圖的方式放置，已知，．

固定三角板，然后將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖所示的位置，與、分別交于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)．

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，________度；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，與垂直？請(qǐng)說明理由．

將圖中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖所示的位置，使，與交于點(diǎn)，試說明．

Answer 1

【答案】(1)①；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直,理由詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A1CA=20°，則利用互余得∠ACB1=70°，然后根據(jù)∠BCB1=∠ACB+∠ACB1進(jìn)行計(jì)算；

②利用AB與A1B1垂直得∠A1ED=90°，則∠A1DE=90°-∠A1=60°，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形內(nèi)角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與A1B1垂直；

（2）由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=A1C，所以CD=A1C，則A1D=CD．

（1）①∵將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，

∴∠A1CA=20°

∴∠ACB1=70°，

∴∠BCB1=∠ACB+∠ACB1=160°；

故答案為160；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直．理由如下：

當(dāng)與垂直時(shí)，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

即旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直；

∵，，

∴，

在中，，

∴，

∵圖中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖所示的位置，

∴，

∴，

∴．