【題目】已知:如圖,正方形ABCD,點E是DC邊上的一動點,過點C作AE的垂線交AE延長線于點F,過D作DH⊥CF,垂足為H,點O是AC中點,連HO.
(1)如圖1,當(dāng)∠CAE=∠DAE時,證明:AE=2CF;
(2)如圖2,當(dāng)點E在DC上運動時,線段AF與線段HO之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?若存在,證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論:若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)E為DC中點時,AC=2,直接寫出AF的長 .
【答案】(1)證明見解析;(2)AF=OH,理由見解析;(3).
【解析】
(1)如圖1,延長AD、CH交于M,證明△ACF≌△AMF(ASA),得CM=2CF,再證明△ADE≌△CDM(ASA),可得結(jié)論;
(2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△OMC≌△OND(AAS),并證明四邊形MONH是正方形,得OH=OM,根據(jù)三角形中位線定理可得是結(jié)論;
(3)如圖1,證明△ADE∽△CFE,得CF=2EF,利用正方形的性質(zhì)和勾股定理計算AD=CD=2,分別計算AE和EF的長可得結(jié)論.
(1)證明:如圖1,延長AD、CH交于M,
∵AF⊥CF,
∴∠AFC=∠AFM=90°,
∵∠DAE=∠CAE,AF=AF,
∴△ACF≌△AMF(ASA),
∴CF=FM,
∴CM=2CF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠CDM=90°,
∵∠ADE=∠EFC=90°,∠AED=∠CEF,
∴∠ECF=∠EAD,
∴△ADE≌△CDM(ASA),
∴AE=CM=2CF;
(2)解:AF=OH,理由是:
如圖2,過O作ON⊥DH于N,OM⊥CH于M,連接OD,
∴∠OMH=∠ONH=∠MHN=90°,
∴四邊形MONH為矩形,
∴∠MON=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OD=OC,∠DOC=90°,
∴∠MOC=∠DON,
∵∠OMC=∠OND=90°,
∴△OMC≌△OND(AAS),
∴OM=ON,
∴矩形MONH是正方形,
∴OH=OM,
△ACF中,∵OA=OC,OM∥AF,
∴CM=FM,
∴AF=2OM,
∴=,即AF=OH;
(3)∵∠ADE=∠EFC=90°,∠AED=∠CEF,
∴△ADE∽△CFE,
∴===2,
∵四邊形ABCD是正方形,且AC=2,
∴AD=CD=2,
∵E是CD的中點,
∴DE=CE=1,
由勾股定理得:AE===,
設(shè)EF=x,則CF=2x,
∴CE=x=1,
x=,
∴EF=,
∴AF=+=.
故答案為:.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程。
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5。當(dāng)△ABC是等腰三角形時,求k的值。
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【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OF⊥AB,交AC于點F,點E在AB的延長線上,射線EM經(jīng)過點C,且∠ACE+∠AFO=180°.
(1)求證:EM是⊙O的切線;
(2)若∠A=∠E,BC=,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留和根號).
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【題目】某汽車銷售公司2月份銷售新上市一種新型低能耗汽車20輛,由于該型汽車的優(yōu)越的經(jīng)濟適用性,銷量快速上升,4月份該公司銷售該型汽車達到45輛,并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同.
(1)求該公司銷售該型汽車每次的增長率;
(2)若該型汽車每輛的盈利為2萬元,則平均每天可售10輛,為了盡量減少庫存,汽車銷售公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每輛汽車每降5000元,公司平均每天可多售出2輛,若汽車銷售公司每天要獲利14萬元,每輛車需降價多少?
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【題目】如圖所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點.
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的長.
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【題目】如圖,直線與軸、軸分別交于、兩點,點在線段上(不含端點、).
(1)求、兩點的坐標(biāo);
(2)若,求點的坐標(biāo);
(3)若交直線于,于,交于,為中點,當(dāng)點在線段上滑動時,求證的值不變.
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【題目】問題探究
請在圖的正方形ABCD的對角線BD上作一點P,使最;
如圖,點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點,,,點E為BC邊的中點,請作一點P,使最小,并求這個最小值;
問題解決
如圖,李師傅有一塊邊長為1000米的菱形采摘園ABCD,米,BD為小路,BC的中點E為一水池,李師傅現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P,為了節(jié)省土地,使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短,那么是否存在符合條件的點P?若存在,請作出點P的位置,并求出這個最短距離;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG,M是AF的中點,連接DM,EM.
(1)如圖1,點E在CD上,點G在BC的延長線上,請判斷DM,EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并直接寫出結(jié)論;
(2)如圖2,點E在DC的延長線上,點G在BC上,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A1B1C1,并寫出B1,C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A2B2C2,并寫出B2,C2的坐標(biāo).
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