【題目】ABC,BAC=60°,AB=AC,D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),AD為邊在AD右側作菱形ADEF,使∠DAF=60°,連接CF

1)觀察猜想如圖1,當點D在線段BC上時,ABCF的位置關系為   

BC,CDCF之間的數(shù)量關系為   

2)數(shù)學思考如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立請給予證明;若不成立,請你寫出正確結論再給予證明.

3)拓展延伸如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,ADCF相交于點G若已知AB=4,CD=AB,AG的長.

【答案】(1) ①ABCF ; ②BC=CD+CF;(2)見解析;(3

【解析】1①根據菱形的性質以及等邊三角形的性質推出△DAB≌△FAC,根據全等三角形的性質即可得到結論②根據全等三角形的性質得到CF=BD,再根據BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC;

2)依據△ABD≌△ACF,即可得到∠ACF+∠BAC=180°,進而得到ABCF;依據△ABD≌△ACF可得BD=CF,依據CDBD=BC,即可得出CDCF=BC

3)判定△ABD≌△ACF,即可得到CF=BD=BC+CD=6ACG=ABC=60°=ADF,再根據△AGC∽△FGD,即可得到==,進而得出AG的長.

1①∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形∴∠BAC=60°=DAF,∴∠BAD=CAF

又∵菱形ADEF,AD=AF,∴△ABD≌△ACF∴∠ACF=ABD=60°.

又∵∠ACB=60°,∴∠ABC+∠BCF=180°,ABCF;

②∵△ABD≌△ACF,BD=CF

又∵BD+CD=BC,CF+CD=BC

故答案為:ABCF;CF+CD=BC

2)結論①成立,而結論②不成立.證明如下

如圖2∵∠BAC=60°,AB=AC∴△ABC是等邊三角形∴∠BAC=60°=DAF,ABD=120°,∴∠BAD=CAF

又∵菱形ADEF,AD=AF∴△ABD≌△ACF,∴∠ACF=ABD=120°.

又∵∠CAB=60°,∴∠ACF+∠BAC=180°,ABCF;

∵△ABD≌△ACF, BD=CF

又∵CDBD=BC,CDCF=BC

3)如圖3,連接DF,AAHBDH,AH=2,DH=2+2=4RtADH,AD=2

AF=AD,DAF=60°,∴△ADF是等邊三角形.

又∵∠BAC=60°,AB=AC,∴∠BAD=CAF,∴△ABD≌△ACF,CF=BD=BC+CD=6,ACG=ABC=60°=ADF

又∵∠AGC=FGD,∴△AGC∽△FGD,===,∴可設AG=4xFG=2x,CG=62xDG=24x,=,解得x=AG=

練習冊系列答案
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C. 小球落地點距O點水平距離為7

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