Question

【題目】在中，，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．

（1）如圖①，當點在線段上運動時，交于．

①求證：．

②當是等腰三角形時，直接寫出的長．

（2）如圖②，當點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出點的位置；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①證明見解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延長線上，且CD= 2

【解析】

(1) ①求出∠B=45°，根據(jù)三角形外角性質得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可；

②分為三種情況，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根據(jù)等腰三角形性質(等腰三角形兩邊相等)，三角形全等推出即可；

(2)存在，可證 得到CD=AC=2．

解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,

∴∠B=∠C=45°

∵∠ADE=45°,

∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,

即45°+∠1=45°+∠2．

∴∠1=∠2．

②解:當△ADE是等腰三角形時，分為以下三種情況:

第一種情況: DE=AE,

∵DE=AE,

∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,

∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,

即DE⊥．AC．

∴AD= DC．

∴E為AC的中點，

∴

第二種情況: AD=AE，此時D和B重合，E和C重合,

即AE=AC=2;

第三種情況: AD=DE,

在△ABD和△DCE中．

∴ ,

∴BD=CE，AB=DC,

設BD=CE=x,

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2,

∴BC= ．

∴DC=-x．

∴-x=2,

∴x=-2,

∴AE=

綜合上述: AE的值是1或 2或

(3)解:存在，理由如下：

∵

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵ ,

∴ ，

故存在點，使是等腰三角形，此時D在BC的延長線上，且CD= 2