Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-6，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-6）．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式，寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）若在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M，使△MBC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P（0，k）為線段OC上的一個(gè)不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥CM交x于點(diǎn)D，連接MD、MP，設(shè)△MPD的面積為S，求當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)S的值最大？

Answer 1

分析：（1）將A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值；
（2）由于BC的長(zhǎng)為定值，若△MBC的周長(zhǎng)最小，那么MB+MC的值最��；由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，若連接AC，那么AC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)；可先求出直線AC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若DP∥MC，則△ODP∽△OAC，可設(shè)出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的比例線段即可求出OD的長(zhǎng)，那么三角形DMP的面積可由△OAC、△ADM、△MPC、△ODP的面積差求得，由此可得到關(guān)于S與P點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-6），
∴c=-6；
而拋物線過(guò)點(diǎn)A（-6，0）、B（2，0），
∴

36a-6b-6=0 4a+2b-6=0

；
解得a=

1

2

，b=2，
即此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x2+2x-6；
它的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2；

（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x=-2對(duì)稱(chēng)，M在對(duì)稱(chēng)軸上，
∴AM=BM；
所以當(dāng)點(diǎn)A，M，C共線時(shí)，△MBC的周長(zhǎng)最��；
直線AC的解析式是：y=-x-6，
令x=-2，得y=-4，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-4）；

（3）點(diǎn)P（0，k）為線段OC上的一個(gè)不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，
∴-6＜k＜0；
∵PD∥CM，
∴∠ODP=∠OAC，∠OPD=∠OCA，
∴△ODP∽△OAC，
∴

OD

OA

=

OP

OC

，
而OA=OC，
∴OD=OP，即D（k，0）；
∴△MPD的面積S=S_△AOC-S_△AMD-S_△MCP-S_△POD；
即S=

1

2

×6×6-

1

2

×(6+k)×4-

1

2

×(6+k)×2-

1

2

×|k|2=-

1

2

k2-3k；
當(dāng)k=-3時(shí)，S的值最大，最大值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)，能夠結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短的知識(shí)來(lái)確定點(diǎn)M的位置是解答此題的關(guān)鍵．