如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標.
分析:(1)根據(jù)已知函數(shù)的頂點,設出函數(shù)的頂點式,再將點B代入解析式求出a的值即可;
(2)①過點C作直線平行于x軸,與拋物線相交于另一點E,令y=0可得方程x2+2x-3=-3,據(jù)此求出D點坐標,從而得到x的取值范圍;
②令y=5,求出F點和E點的橫坐標,據(jù)此即可直接求出x的取值范圍.
(3)容易求出A點坐標,再根據(jù)A點坐標求出AC的解析式,MN的長度可用兩解析式的差來表示,該差為二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值的求法即可解答;
(4)根據(jù)題意可知,該圓同時與x軸、y軸相切時,圓心橫縱坐標相同或互為相反數(shù),據(jù)此列出方程解答.
解答:解:(1)設函數(shù)解析式為y=a(x+1)2-4,
將點B(1,0)代入解析式得,
a(1+1)2-4=0,
解得a=1,
故函數(shù)解析式為y=(x+1)2-4,
化為一般式得y=x2+2x-3.
(2)①函數(shù)與y軸的交點為(0,-3),
如圖1,過點C作直線平行于x軸,與拋物線相交于另一點E,
令y=-3可得方程x2+2x-3=-3,
解得x1=0,x2=-2.
則D點坐標為(-2,0).
由圖可知y<-3時,-2<x<0;
故答案為-2<x<0.
②如圖1,當x=2時,y2=4+4-3=5;故E點坐標為(2,5),
令y=5,得x2+2x-3=5,解得x1=2,x2=-4.F點坐標為(-4,0).
由圖可知,y1>y2時,m<-4或m>2.
(3)如圖2,令y=0可得方程x2+2x-3=0,
有(x-1)(x+3)=0,
解得x1=1,x2=-3.
則A點坐標為(-3,0).
設一次函數(shù)AC解析式為y=kx+b,
將A(-3,0),C(0,-3)代入解析式得,
-3k+b=0
b=-3
,
解得
k=-1
b=-3

故函數(shù)解析式為y=-x-3.
當x=t時,MN=(-t-3)-(t2+2t-3)=-t2-3t=-(t+
3
2
2+
9
4
(-3≤t≤0),
當t=-
3
2
時,MN取得最大值
9
4

(4)根據(jù)題意得①x=x2+2x-3,解得x1=
-1+
13
2
,x2=
-1-
13
2
,
將x1=
-1+
13
2
,x2=
-1-
13
2
,分別代入解析式得y1=
-1+
13
2
,y2=
-1-
13
2

故P點坐標為(
-1+
13
2
,
-1+
13
2
),(
-1-
13
2
,
-1-
13
2
).
②-x=x2+2x-3,解得x1=
-3+
21
2
,x2=
-3-
21
2
,分別代入解析式得,y1=
3-
21
2
;y2=
3+
21
2
.故P點坐標為(
-3+
21
2
,
3-
21
2
),(
-3-
21
2
,
3+
21
2
).
點評:本題考查了二次函數(shù)綜合題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、存在性問題、二次函數(shù)求最值等知識,難度較大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標.(可直接寫出結果)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標.

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