【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,它的三邊長是三個連續(xù)的正偶數(shù),且AC>BC.
(1)這個直角三角形的各邊長;
(2)若動點Q從點C出發(fā),沿CA方向以1個單位長度/秒的速度運動,到達點A停止運動,請運用尺規(guī)作圖作出以點Q為圓心,QC為半徑,且與AB邊相切的圓,并求出此時點Q的運動時間.
(3) 若動點Q從點C出發(fā),沿CA方向以1個單位長度/秒的速度運動,到達點A停止運動,以Q為圓心、QC長為半徑作圓,請?zhí)骄奎cQ在整個運動過程中,運動時間t為怎樣的值時,⊙Q與邊AB分別有0個公共點、1個公共點和2個公共點?
【答案】(1)6,8,10;(2)t=3;(3)當0<t<3時,⊙Q與邊AB有0個公共點,
當t=3或4<t≤8時,⊙Q與邊AB有1個公共點,
當3<t≤4時,⊙Q與邊AB有2個公共點.
【解析】【試題分析】(1)根據(jù)直角△ABC的三邊長是三個連續(xù)的正偶數(shù),設最短的邊為x,則另兩邊分別為x+2,x+4.根據(jù)勾股定理得:(x+4)2=x2+(x+2)2,解得x1=6,x2=-2(舍去),三邊長分別是6,8,10.
(2)設⊙Q與AB相切與點P.根據(jù)切線的性質得:∠BPQ=90°,由于∠C=90°,根據(jù)切線的判定得,BC與⊙Q 相切,根據(jù)切線長定理得,BC=BP=6,AP=4
設CQ=x,則AQ=8-x在Rt 中,利用勾股定理得:AQ2=PQ2+AP2,即(8-x)2=x2+42
解得:x=3,即t=3
(3)根據(jù)(2)的求解,依據(jù)數(shù)形結合思想,易得:當0<t<3時,⊙Q與邊AB有0個公共點;當t=3或4<t≤8時,⊙Q與邊AB有1個公共點;當3<t≤4時,⊙Q與邊AB有2個公共點.
【試題解析】
(1)設最短的邊為x,則另兩邊分別為x+2,x+4.
根據(jù)題意,得:(x+4)2=x2+(x+2)2
整理得x2-4x-12=0,解得x1=6,x2=-2(舍去)
三邊長分別是6,8,10.
(2)設⊙Q與AB相切與點P
∴∠BPQ=90°
∵∠C=90°
∴BC與⊙Q 相切
∴BC=BP=6
∴AP=4
設CQ=x,則AQ=8-x
∵AQ2=PQ2+AP2
∴(8-x)2=x2+42
∴x=3
即t=3
(3)當0<t<3時,⊙Q與邊AB有0個公共點,
當t=3或4<t≤8時,⊙Q與邊AB有1個公共點,
當3<t≤4時,⊙Q與邊AB有2個公共點.
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【題目】根據(jù)下列證明過程填空:
已知:如 圖,AD⊥BC于點D,EF⊥BC于點F,交AB于點G,交CA的延長線于點E,∠1=∠2.
求證:AD平分∠BAC,填寫證明中的空白.
證明:
∵AD⊥BC,EF⊥BC (已知),
∴EF∥AD ( ),
∴ = ( 兩直線平行,內錯角相等 ),
=∠CAD ( ).
∵ (已知),
∴ ,即AD平分∠BAC ( ).
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【題目】為響應我市“中國夢”“宜賓夢”主題教育活動,某中學在全校學生中開展了以“中國夢我的夢”為主題的征文比賽,評選出一、二、三等獎和優(yōu)秀獎.小明同學根據(jù)獲獎結果,繪制成如圖所示的統(tǒng)計表和數(shù)學統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ,n= .
(2)學校決定在獲得一等獎的作者中,隨機推薦兩名作者代表學校參加市級比賽,其中王夢、李剛都獲得一等獎,請用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好選中這二人的概率.
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【題目】下列一元二次方程中,兩實根之和為1的是 ( )
A. x2—x+1=0 B. x2+x—3=0 C. 2 x2-x-1=0 D. x2-x-5=0
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點終點B運動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點終點C運動,它們到達終點后停止運動.
(1)幾秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;
(2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.
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【題目】已知一張三角形紙片ABC(如圖甲),其中AB=AC.將紙片沿過點B的直線折疊,使點C落到AB邊上的E點處,折痕為BD(如圖乙).再將紙片沿過點E的直線折疊,點A恰好與點D重合,折痕為EF(如圖丙).原三角形紙片ABC中,∠ABC的大小為______°.
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【題目】(2015桂林)“全民閱讀”深入人心,好讀書,讀好書,讓人終身受益.為滿足同學們的讀書需求,學校圖書館準備到新華書店采購文學名著和動漫書兩類圖書.經了解,20本文學名著和40本動漫書共需1520元,20本文學名著比20本動漫書多440元(注:所采購的文學名著價格都一樣,所采購的動漫書價格都一樣).
(1)求每本文學名著和動漫書各多少元?
(2)若學校要求購買動漫書比文學名著多20本,動漫書和文學名著總數(shù)不低于72本,總費用不超過2000元,請求出所有符合條件的購書方案.
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【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,A(a,0),C(b,2),且滿足(a+2)2+=0,過C作CB⊥x軸于B.
(1)求三角形ABC的面積;
(2)如圖②,若過B作BD∥AC交y軸于D,且AE,DE分別平分∠CAB,∠ODB,求∠AED的度數(shù);
(3)在y軸上是否存在點P,使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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