【題目】如圖,△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合.將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上,且AP=AQ時(shí),求證:△BPE≌△CQE;
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時(shí),求證:△BPE∽△CEQ;并求當(dāng)BP= ,CQ= 時(shí),P、Q兩點(diǎn)間的距離 (用含的代數(shù)式表示).
【答案】(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中點(diǎn),利用SAS,可證得△BPE≌△CQE;
(2)由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性質(zhì),即可得∠BEP=∠EQC,則可證得△BPE∽△CEQ;PQ=a
【解析】試題分析:(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中點(diǎn),利用SAS,可證得:△BPE≌△CQE;
(2)由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性質(zhì),即可得∠BEP=∠EQC,則可證得:△BPE∽△CEQ;根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得BE的長,即可得BC的長,繼而求得AQ與AP的長,利用勾股定理即可求得P、Q兩點(diǎn)間的距離.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)連接PQ
∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴,
∵BP=a,CQ=a,BE=CE,
∴,
∴BE=CE=,
∴BC=3,
∴AB=AC=BCsin45°=3a,
∴AQ=CQ-AC=,PA=AB-BP=2a,
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【題目】若xa+2y4與﹣3x3y2b是同類項(xiàng),則2018(a﹣b)2018的值是( )
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(﹣3,2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( 。
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B.(2,﹣2)
C.(1,5)
D.(2,2)
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【題目】將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2列,兩邊各加一條豎直線記成,定義=ad-bc,上述記號就叫做2階行列式.若=-20,求x的值.
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【題目】觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式;
④__________________________________________________________;⑤_____________________________________________________;
(2)根據(jù)上面算式的規(guī)律,請計(jì)算: ________________________;
(3)通過猜想寫出與第n個(gè)點(diǎn)陣相對應(yīng)的等式.
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【題目】如圖是小明設(shè)計(jì)的智力拼圖玩具,現(xiàn)在小明遇到了下面兩個(gè)問題,請你幫助解決.
(1)如圖⑴,∠D=,∠ACD=.為保證AB∥DE,∠A應(yīng)等于多少度?
(2)如圖⑵,若GP∥HQ,則∠G,∠F, ∠H之間有什么樣的關(guān)系?
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【題目】一個(gè)三角形任意一邊上的高都是這邊上的中線,則對這個(gè)三角形最準(zhǔn)確的判斷是( )
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