Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的頂點A在x軸的負半軸上，頂點C在y軸上，且AB＝4．P為OC上一點，將△BCP沿PB折疊，點C落在第三象限內點Q處，BQ與x軸的交點M恰好為OA的中點，且MQ＝1．

（1）求點A的坐標；

（2）求折痕PB所對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】(1) A(－6，0);(2) y＝－x＋1.

【解析】

（1）由M為OA的中點，可設AM=OM=x．根據矩形的性質得出BC=AO=2x．由折疊的性質得出BQ=BC=2x，那么BM=2x-1．在Rt△ABM中根據勾股定理列出方程x2+42=（2x-1）2，解方程求出x，進而得到點A的坐標；
（2）設PQ與OA相交于點N．由△MQN∽△MAB，求出MN=，QN=，那么ON=．由△MQN∽△PON，求出OP=1，得到P（0，1）．設折痕PB所對應的函數表達式為y=kx+b，將B、P兩點的坐標代入，利用待定系數法即可求出折痕PB所對應的函數表達式．

解：（1）∵M為OA的中點，
∴可設AM=OM=x．
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=AO=2x．
由△BCP沿PB折疊，得BQ=BC=2x，則BM=BQ-MQ=2x-1．
在Rt△ABM中，由勾股定理得x2+42=（2x-1）2，
解得x=3，
∴A（-6，0）；
（2）如圖，設PQ與OA相交于點N．

在△MQN與△MAB中， ，
∴△MQN∽△MAB，
∴ ，即 ，
∴MN=

，QN=．
∴ON=OM-MN=3-=．
在△MQN與△PON中，

，
∴△MQN∽△PON，
∴ ，即，
∴OP=1，∴P（0，1）．
設折痕PB所對應的函數表達式為y=kx+b，
∵B（-6，4）、P（0，1），
∴-6k+b=4,b=1，解得k=- ,b=1，
∴折痕PB所對應的函數表達式為y= -x+1．