Question

如圖，在直角梯形ABCD中．AB∥CD，AB=12cm，CD=6cm，DA=3cm，∠D=∠A=90°，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間（單位：秒），并且0≤t≤3．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰三角形；
（2）證明不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個(gè)定值，并且求出這個(gè)定值；
（3）請(qǐng)你探究△PBC能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△QAP為等腰三角形，根據(jù)題意列出方程即可求出t的值；
（2）連接AC，即可求出四邊形QAPC的面積，與t無(wú)關(guān)；
（3）分∠PCB與∠CPB為直角時(shí)兩種情況分別求出T的值．

解答：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△QAP為等腰三角形，則DA-DQ=AP，即3-t=2t，解得：t=1s．

（2）連接AC，則S_{四邊形QAPC}=S_△APC+S_△ACQ=

1

2

AP•AD+

1

2

AQ•CD=

1

2

[3×2t+6×（3-t）]=

1

2

×18=9，故不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個(gè)定值，這個(gè)定值為9．

（3）能．①過(guò)C作CE⊥AB于E，則AE=CD=6cm，當(dāng)p運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

6

2

=3s，此時(shí)Q正好運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)．△PBC中∠CPB=90°．

②當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，即P到E點(diǎn)時(shí)，過(guò)D作DG∥BC，
則四邊形DGBC是平行四邊形，BG=DC=6cm，
故AG=AB-GB=12-6=6cm，DG=BC=

DA2+AG2

=

32+62

=3

5

cm，
過(guò)A作AF∥CE，則AF=CE，CF=AE=2t，DF=DC-2t=6-2t，
AF=CE=

AD2+DF2

=

32+(6-2t)2

=3

5

，
在直角三角形BCE中，BE²=CE²+BC²，
即（12-2t）²=（6-2t）²+3²+（3

5

）²，
解得：t=

9

4

（符合題意）．
故當(dāng)t=

9

4

s，或t=3s時(shí)△PBC能否構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，涉及到梯形及平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)與判定定理，需同學(xué)們熟練掌握．