【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵頂點坐標(biāo)為(1,1),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1,
又拋物線過原點,
∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1,
即y=﹣x2+2x,
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ,解得 或 ,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3)
(2)
證明:如圖,分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,
則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)
解:假設(shè)存在滿足條件的點N,設(shè)N(x,0),則M(x,﹣x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分別求得AB= ,BC=3 ,
∵M(jìn)N⊥x軸于點N
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時有 = 或 = ,
①當(dāng) = 時,則有 ,即|x||﹣x+2|= |x|,
∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形,
∴x≠0,
∴|﹣x+2|= ,即﹣x+2=± ,解得x= 或x= ,
此時N點坐標(biāo)為( ,0)或( ,0);
②當(dāng) = 時,則有 ,即|x||﹣x+2|=3|x|,
∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,
此時N點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0),
綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為( ,0)或( ,0)或(﹣1,0)或(5,0)
【解析】(1)可設(shè)頂點式,把原點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點坐標(biāo);
(2)分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,結(jié)合A、B、C三點的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°,可證得結(jié)論;
(3)設(shè)出N點坐標(biāo),可表示出M點坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得 = 或 = ,可求得N點的坐標(biāo). 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在(1)中注意頂點式的運用,在(3)中設(shè)出N、M的坐標(biāo),利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵,注意相似三角形點的對應(yīng).本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),難度適中.
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點和勾股定理的概念的相關(guān)知識點,需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
(材料)如圖,對任意符合條件的直角三角形BAC,繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四邊形ACFD是一個正方形,它的面積和四邊形ABFE面積相等,而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和,根據(jù)圖形我們就能證明勾股定理: .
(請回答)如圖是任意符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+m的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A,B兩點,且與x軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(2,1).
(1)求m及k的值;
(2)求點C的坐標(biāo),并結(jié)合圖象寫出不等式組0<x+m≤ 的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸成軸對稱,則△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為A1_____,B1_____,C1_____
(2)在y軸上是否存在點Q.使得S△ACQ=S△ABC,如果存在,求出點Q的坐標(biāo),如果不存在,說明理由;
(3)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于 G,DM//BC 交∠ABC 的外角平分線于 M, 交 AB、AC 于 F、E,下列結(jié)論:①MB⊥BD;②FD=FB;③MD=2CE. 其中一定正確的有( )
A. 0 個 B. 1 個 C. 2 個 D. 3 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P是直線AC下方拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是 BC 邊的中線,過點C 作 CF⊥AE,垂足為點 F,過點 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延長線于點 D.
(1)試證明:AE=CD;
(2)若 AC=12cm,求線段 BD 的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個長為8分米,寬為5分米,高為7分米的長方體上,截去一個長為6分米,寬為5分米,深為2分米的長方體后,得到一個如圖所示的幾何體.一只螞蟻要從該幾何體的頂點A處,沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點B處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑的長是 分米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖所示,圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8:30開門后經(jīng)過的時間(分鐘),縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù).圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= ,10:00之后來的游客較少可忽略不計.
(1)請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量,館內(nèi)人數(shù)不超過684人,后來的人在館外休息區(qū)等待.從10:30開始到12:00館內(nèi)陸續(xù)有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時,館外等待的游客可全部進(jìn)入.請問館外游客最多等待多少分鐘?
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